Question

设f(x)是定义在上的函数,对m,n属于R恒有fm+n)=f(m)f(n),且当x>0时，0<f(x)<1，证明f(0)=1

证明：x属于R时恒有f(x)>0
证明：f(x)在R上是减函数

Answer 1

证:(1)令m>0,n=0,f(m)=f(m)f(0)
∴[1-f(0)]f(m)=0
∴f(0)=1
(2)令x>0,f(0)=(x-x)=f(x)f(-x)=1
f(-x)=1/f(x)>0
∴x<0时,f(x)>0
∴x属于R时恒有f(x)>0
(3)设x2=x1+△x>x1
则0<f(△x)<1
f(x2)=f(x1)f(△x)<f(x1)
∴递减

Answer 2

f(0+0)=f(0)f(0)
f(0)=0 or 1
假设f(0)=0则f(0+x)=f(0)f(x)=0f(x)=0 (x > 0)
已知0<f(x)<1得f(x)≠0 f(x)=1
f(x+(-x))=f(x)f(-x)=1得f(x)=1/f(-x)>0
y>0 f(y)<1
f(x+y)-f(x)=f(x)(f(y)-1)<0
单调递减

Answer 3

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