Question

若f(X)=X的平方+bX+c，且f(1)=0,f(3)=0。判断f(X)在[2，正无穷大]上的单调性并证明

Answer 1

f(x)=x²+bx+c;
f(1)=1+b+c；
f(2)=9+3b+c;
b=-4;c=3;
f(x)=x²-4x+3=(x-2)²-1;
所以在[2，正无穷大]上单调递增

Answer 2

f(1)=1+b+c=0
f(3)=9+3b+c=0
联立解得b=-4,c=3
所以f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1
当x>=2时，x递增，则x-2大于0且递增，(x-2)^2当然也递增。所以f(x)在[2，正无穷)上单调增。

Answer 3

f()x=x^2+bx+c
f(1)=1+b+c=0,
f(3)=9+3b+c=0
f(3)-f(1)=8+2b=0
求出b=-4
再代入f(1)=1+b+c=0
求出,c=3
f(x)=x^2-4x+3
=x^2-4x+4-1
=（x-2）^2-1
f(X)在[2，正无穷大]上单调上升

Answer 4

∵f(10 f(3)=9+3b+c=0
∴f(x)=x^2-4x+3
证明：任取X1、X2∈[2，+∞）设X1<X2 则f(x2)-f(x1)=(X2-2)^2-(X1-2)^2
∵X1、X2∈[2，+∞）且X1<X2 即f(x2)-f(x1)=(X2-2)^2-(X1-2)^2>0
∴[2，+∞）上是增函数

Answer 5

f(x)=x^2-9/2x+9/2=(x-9/4)^2-9/16
f(x)在（-∞,9/4)递减，（9/4，+∞）递增
所以f(x)在（2,9/4)递减，（9/4，+∞）递增