Question

求∫［1/x√(x^2-2x+3)］dx，求思路及答案。感谢！

Answer 1

最好作倒代换：
令x=1/t，则dx=-1/t²·dt
原式=-∫1/√(3t²-2t+1)·dt
=-1/√3·∫1/√(t²-2/3·t+1/3)·dt
=-1/√3·∫1/√[(t-1/3)²+2/9]·dt
=-1/√3·∫1/√[(t-1/3)²+2/9]·d(t-1/3)
=-1/√3·ln{(t-1/3)+√[(t-1/3)²+2/9]}+C1
=-1/√3·ln[t-1/3+√(t²-2/3·t+1/3)]+C1
=-1/√3·ln[3t-1+√(9t²-6t+3)]+C
【其中，C=C1+1/√3·ln3】
=-1/√3·ln|3-x+√(3x²-6x+9)|+1/√3·ln|x|+C

本题也可以用三角换元：
【过程较复杂，你可以尝试一下】
x²-2x+3=(x-1)²+2
∴设x-1=√2·tant
则dx=√2·sec²t·dt
√(x²-2x+3)=√2·sect

原式=∫1/[(1+√2·tant)·√2·sect]·√2·sec²t·dt
=∫sect/(1+√2·tant)·dt
=∫1/(cost+√2·sint)·dt
=1/√3·∫sec(t-φ)dt
【其中，φ=arctan√2】
=1/√3·ln|sec(t-φ)+tan(t-φ)|+C
=……

【附注】
基本积分公式
∫1/√(u²+a²)·du=ln|u+√(u²+a²)|+C
∫secu·du=ln|secu+tanu|+C