Question

如果一个矩阵主对角线上的元素都为0 其他元素不为0 那么它的行列式是多少？是0吗？

Answer 1

这个没有必然关系。可以举反例，最简单的二阶就不是0嘛。
| 0 1 |
| 1 0 |.
你是看这个很有规律性，所以想知道，如果对角元素全部为零时会带来什么特性吧。可以告诉你，一般的行列式可以分解成n²项，对角元全为零的话，就可以化简到(n-1)²项，另外它的特征值之和为零。其他的规律并不明显。除非结合更强的其他条件，比如对称，或者反对称等条件。

Answer 2

不一定。二阶阵[0 a; b 0]，其中a b都不为0，行列式是－ab不为0；三阶阵时各种可能都会发生。
【0 －1 －1；1 0 －1；1 1 0】的行列式为0，也可以举出行列式不为0的三阶阵。高阶时行列式可能为0，也可能不为0.