Question

已知在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=x2-bx+c(b>0)的图像经过点A(-1,b),与y轴相交于点B，且∠ABO的正切值

为1/3
1）求点B的坐标
2）求这个函数的解析式
3）如果这个函数图象的顶点为C，求证∠ACB=∠ABO

Answer 1

1) 

二次函数 y=x²-bx+c 与y轴的交点B的坐标是（0，c)

AB的斜率是 c-b ,AB 的倾斜角为α  ，tanα=c-b

<ABO=180º-(90º-α)=90º+α

tan<ABO=tan(90º+α)=-cotα=-1/tanα=1/3

∴tanα=-3  即 c-b=-3  b=c+3

∵A点在抛物线上，

∴b=1+b+c

c=-1 b=2

∴B 点坐标是（0，-1）

2）

这个函数的解析式是 y=x²-2x-1

3)

抛物线的顶点坐标是C（1，-2）

AC的斜率是（2+2）/（1+1）=2

BC的斜率是（-1+2）/（1-0）=1 

tan<ACB=(2-1)/(1+2)=1/3

tan<ABO=1/3

而<ACB和<ABO 同是锐角

∴<ACB=<ABO

Answer 2

当x=0时，y=c..所以B(0,c)
把x=-1 y=b代入函数，解得c=-1
因为∠ABO的正切值为1/3，所以∠ABO=30度，作AC垂直y轴，tan∠ABO=AC绝对值/BC绝对值
所以BC绝对值为根号3
所以b=根号3减1
所以 二次函数为y=x^2-（根号3减1）x-1
3）由二次函数可解出C坐标，代入求证即可

Answer 3

1.因为过A点，所以b=(-1)^2+b+c所以c=-1,所以B得坐标为（0,-1）
2.因为∠ABO的正切值为1/3，所以1/(b+1)=1/3,所以b=2
所以y=x^2-2x-1
3,不可能相等