Question

各位帮我解一道线性代数题。。。急！！！

各位帮我解一道线性代数题：设向量组：a1,a2,....am(m〉1)线性无关，且b=a1+a2+....+am,求证：向量组b-a1,b-a2,....b-am线性无关。 lA*l=lAln-1（这里A*为A的伴随矩阵）。

Answer 1

（1）考察k1(b-a1) + k2(b-a2) + ... + km(b-am) = 0.
代入b整理得：
(k2+k3+...+km)a1 + (k1+k3+...+km)a2 + ... + (k1+k2+...+km-1)am = 0。...............（*）
由a1,a2,....am线性无关得等式（*）左边a1,a2,....am的系数全为0，即
k2+k3+...+km = 0 ...........<1>
k1+k3+...+km = 0 ...........<2>
.....
k1+k2+...+km-1 = 0 ..........<m>
以上m个等式显然构成未知量k1，k2，... ，km的线性方程组，
很容易求得系数矩阵的行列式不为零(可对m赋值，比如2,3)，即系数矩阵可逆。
因此k1 = k2 = .. = km = 0.
从而b-a1,b-a2,....b-am线性无关。

（2）
AA* = |A|E，等式两边求行列式得|AA*| = | |A|E |
即|A| |A*| = |E| |A|^n = |A|^n ，等式两边除以|A|得lA*l=lAl^(n-1)

Answer 2

反证法，最后证得与已知条件“a1,a2,....am(m〉1)线性无关”相矛盾

Answer 3

如图：