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求 ∫ 1/x²(1+x²) 的不定积分
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∫1/x(x²+1)dx
=∫1/x-x/(x²+1)dx
=∫1/xdx-∫x/(x²+1)dx
=ln|x|-1/2ln|x²+1|+c
扩展资料:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
求不定积分的方法:
1、换元积分法:
可分为第一类换元法与第二类换元法。
第一类换元法(即凑微分法)
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。
2、分部积分法
公式:∫udv=uv-∫vdu
(uv)'=u'v+uv'
得:u'v=(uv)'-uv'
两边积分得:∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即:∫ u'v dx = uv - ∫ uv' dx,这就是分部积分公式
也可简写为:∫ v du = uv - ∫ u dv
推荐于2017-10-15
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1方法, 积分=2∫udu/1+u =2∫(1- 1/1+u)du=2(u-Ln(1+u)) +C =2(√x -Ln(1+√x) +C。 2方法, 积分=2∫(u-1)du /u=2∫(1- 1/u)du=2(u-Lnu) +C =2(1+√x-Ln(1+√x)) +C。 以上1方法和2方法都正确,因为对两个答案进行求导都=被积函数
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分子构造(1+x平方)-x平方再约分
形成1/x平方-1/1+x平方的不定积分
再对照基本积分表
得-1/x-arctanx+c
形成1/x平方-1/1+x平方的不定积分
再对照基本积分表
得-1/x-arctanx+c
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∫1/(1+X²)²dx
=∫(1+x²-1)/(1+X²)²dx
=∫1/(1+X²)dx-∫x²/(1+X²)²dx
=arctanx+1/2∫xd1/(1+X²)
=arctanx+1/2(x/(1+x²)-∫1/(1+X²)dx)
=1/2arctanx+x/(2(x²+1))+C
=∫(1+x²-1)/(1+X²)²dx
=∫1/(1+X²)dx-∫x²/(1+X²)²dx
=arctanx+1/2∫xd1/(1+X²)
=arctanx+1/2(x/(1+x²)-∫1/(1+X²)dx)
=1/2arctanx+x/(2(x²+1))+C
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