Question

已知函数f(x)=2^x, -1<x≤1 f(x)=f(x-2)+1,1<x≤3则函数g(x)=f(f(x))-2在区间(-1,3]上的零点个数

Answer 1

-1<x≤0, f(x)=2^x ∈ (1/2, 1] , f(f(x)) = 2^f(x) = 2^(2^x) ∈ (√2, 2]
0<x≤1, f(x)=2^x ∈ (1, 2] , f(f(x)) = 2^[f(x) - 2] + 1 = (1/4) 2^(2^x) + 1 ∈ (3/2, 2]
1<x≤3 , f(x) = 2^(x-2) + 1 ∈ (3/2, 3],
f(f(x)) = 2^[f(x) -2] + 1 = (1/4){ 2^[2^(x-2) +1] } + 1 ∈ (1+√2/2, 3]
=> 函数g(x)=f(f(x))-2在区间(-1,3]上的零点个数是 1 ， 位于(1,3] 之内。

追问

答案说是三个

追答

抱歉，忘了前两个，f(f(0)) - 2 = 0 和 f(f(1)) - 2 = 0
再加上最后一个， f(f(2)) - 2 = 0
一共是三个零点。
此题考查分段函数的复合函数，比较复杂。