Question

一道关于基本不等式的题

已知m+n=5 m,n∈N* 求1/m+4/n的最小值
正确做法是把m=1，n=4 ; m=2 n=3 ; m=3 n=2; m=4 n=1分别求一下然后我算出来是当m=2 n=3时最小值为11/6

但如果我用基本不等式做：
1/m+4/n≥2√(4/mn)
当且仅当1/m=4/n 时等号成立 ∵m+n=5
可得n=4 m=1 此时最小值为2

我觉得过程并没有问题啊，虽然基本不等式右边不是定值，但是n=4,m=1符合所有等号成立的条件，所以应该可以使用才对吧？

Answer 1

如果没有m,n属于整数，这道题应该用不等式做，但不是你那样做的
m+n=5，则1=(m+n)/5，4=4(m+n)/5
所以：
1/m+4/n=(m+n)/5m+4(m+n)/5n
=1/5+n/5m+4m/5n+4/5
=n/5m+4m/5n+1
由基本不等式，n/5m+4m/5n≧2√[(n/5m)*(4m/5n)]=2√(4/25)=4/5
即：n/5m+4m/5n≧4/5
所以：1/m+4/n=n/5m+4m/5n+1≧9/5
当n/5m=4m/5n，即4m²=n²，即：n=2m
又m+n=5，则3m=5，m=5/3，n=10/3
即当m=5/3，n=10/3时，1/m+4/n取得最小值9/5；

注：这是没有m.,n属于整数这一条件的做法，如果有属于整数，那是不能用不等式的，
不等式的适用条件必须是连续区间。。。

祝你开心！希望能帮到你。。。

Answer 2

不能使用，因为不是定值，那么这个最值就不成立，尽管你写的这个不等式是成立的。例如x^2+1，它的最小值是1,，若用均值不等式x^2+1>=2x，当且仅当x=1等号成立，当x=1时，x^2+1=2了

追问

麻烦你再看一下这道题的做法：
三角形ABC，角A=60°，对边a为2 求三角形面积最大值
我们老师是这样解的
1/2=cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+c^2-4)/2bc≥(2bc-4)/2bc=1-2/bc
∴bc≤4 然后求得面积最大值 当且仅当b=c=2时等号成立
这道题目的基本不等式运用不也是建立在非定值的基础上的吗？而且也求出了最小值，这和我的那道题目有什么不同？

追答

1/2==(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+c^2-4)/2bc
b^2+c^2≥2bc，这个不等式是成立的，但是不能说2bc是最小值，因为bc不一定是定值。
从1/2≥1-2/bc得到bc≤4，这是解不等式得到的
考虑到不等式b^2+c^2≥2bc等号成立的条件是b=c，前后一致，所以bc≤4的条件也是b=c，此时因为4为定值，所以可以说bc有最大值4，当且仅当b=c时。与你前面的题的解法是不同的。不能先承认b=c，并解出b与c的值，然后去求出bc的值。

追问

可以这样理解吗？一方不为定值 的时候，取得的最值不依靠b＝c这个条件求出--这时其实相当于右边为常数了，且b＝c＝某实数 确实可以成立，这样基本不等式就行得通？

追答

然也，你很聪慧

Answer 3

只能说1/m+4/n≥2√(4/mn) 这个不等式确实成立，n=4 m=1这只是使不等式取等号的某种情形，但是，并不能说右边的是最小值，例如x的平方大于x-1，不能得到x的平方的最小值是x-1。
最小值应该满足一下两点
1）右边是常数。2）能取得等号
再仔细想想
父亲的年龄大于儿子的年龄，能说明最值吗？