Question

已知函数f（x）=sin（x+7π/4）+cos（x-3π/4），x∈R（1）求函数图象的对称中心

（2）已知cos（β-α ）=4/5，0<α<β ≤π/2求证[f（β）]平方-2=0（3）求f（π/4）+f（2π/4）+f（3π/4）+f（π）+.........f（2011π/4）的值
(2)cos（β+α ）=-4/5

Answer 1

(1) f（x）=sin（x+7π/4）+cos（x-3π/4）
= √2/2 sinx-√2/√2cosx-√2/2cosx+√2/2sinx
=√2(sinx-cosx)=2sin(x-π/4)
由 x-π/4=kπ, ,k∈Z，得
f（x）对称中心（kπ+π/4,0), k∈Z
(2)法1 ∵ 0<α<β ≤π/2
∴ 0<β+α< π, 0<β-α <π/2
又cos（β+α ）=-4/5，cos（β-α ）=4/5，
∴sin（β+α ）=3/5, sin(β-α ）=3/5，
∴cos2β=cos[（β+α ）+(β-α )]
=cos(β+α )cos(β-α )-sin(β+α )sin(β-α )
=4/5×(-4/5)-3/5×3/5=-1
∵ 2β∈(0,π], ∴2β=π, β=π/2
∴ f²(β)]-2=[2sin(π/2-π/4)]²-2=0
法2：∵ 0<α<β ≤π/2
∴ 0<β+α< π, 0<β-α <π/2
又cos（β+α ）=-4/5，cos（β-α ）=4/5
∴（β+α）+（β-α）=π
∴2β=π
下接法1
(3) f(nπ/4)的周期为T=2π/(π/4)=8, 2011=8×251+3
且 f（π/4）+ f（2π/4）+f（3π/4）+f（π）+.....+f（8π/4）=0
∴f（π/4）+f（2π/4）+f（3π/4）+f（π）+.........f（2011π/4
=f（π/4）+ f（2π/4）+f（3π/4）=0+√2+2=√2+2

Answer 2

dddd