Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P．
①求该抛物线的解析式和A点的坐标；
②连接AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；
③在x轴上找一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点Q的坐标．

Answer 1

解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x ²+bx+c中，解得：b=-4，c=3
∴该抛物线的解析式为y=x ²-4x+3
令x ²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3 ∴A点的坐标为（1,0）
②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x ²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）
∴BC=√3²+3²=3√2 PC=√2²+4²=2√5 PB=√1²+1²=√2
∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²
∴PB⊥BC,∠PBC=90 ° ∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)
③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2 AC=√1O PB=√2 BC=3√2
∴BQ=√5 PQ=3∴点Q的坐标(3+√5 ,0)

Answer 2

解：①y=-x+3，
x=0时，y=3，
y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x2+bx+c得：0=9+3b+c3=c​，
解得：b=-4，c=3，
即抛物线的解析式是：y=x2-4x+3，（2分）
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1，
即A的坐标是（1，0）．

②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=32，CP=25，BP=2，AC=10，OC=3，OA=1，
∴ACCP=OCCB=OABP=22，
∴△BCP∽△OCA

③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴点Q只能在点B的左侧，
若ABBC=
BPBQ，
即23
2=
2BQ
可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴点Q坐标为（0，0）；
若ABBC=
BQBP，即23
2=
BQ2，
解得BQ=23，点Q的坐标为（73，0）

Answer 3

解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x ²+bx+c中，解得：b=-4，c=3
∴该抛物线的解析式为y=x ²-4x+3
令x ²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3 ∴A点的坐标为（1,0）
②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x ²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）
∴BC=√3²+3²=3√2 PC=√2²+4²=2√5 PB=√1²+1²=√2
∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²
∴PB⊥BC,∠PBC=90 ° ∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)
③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2 AC=√1O PB=√2 BC=3√2
∴BQ=√5 PQ=3∴点Q的坐标(3+√5 ,0)

Answer 4

解：①y=-x+3，
x=0时，y=3，
y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x2+bx+c得：
0=9+3b+c3=c，
解得：b=-4，c=3，
即抛物线的解析式是：y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1，
即A的坐标是（1，0）．

②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=32，CP=25，BP=2，AC=10，OC=3，OA=1，∴ACCP=OCCB=OABP=22，
∴△BCP∽△OCA

③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴点Q只能在点B的左侧，
若ABBC=BPBQ，
即232=2BQ

可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴点Q坐标为（0，0）；
若ABBC=BQBP，即232=Q2，
解得BQ=23
，点Q的坐标为（73，0）．

Answer 5

解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x ²+bx+c中，解得：b=-4，c=3
∴该抛物线的解析式为y=x ²-4x+3
令x ²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3 ∴A点的坐标为（1,0）
②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x ²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）
∴BC=√3²+3²=3√2 PC=√2²+4²=2√5 PB=√1²+1²=√2
∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²
∴PB⊥BC,∠PBC=90 ° ∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)
③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2 AC=√1O PB=√2 BC=3√2
∴BQ=√5 PQ=3∴点Q的坐标(3+√5 ,0)

Answer 6

解：①把x=0，y=3，x=3，y=0代入y=x ²+bx+c中，解得：b=-4，c=3
∴该抛物线的解析式为y=x ²-4x+3
令x ²-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3 ∴A点的坐标为（1,0）
②把抛物线的解析式转化为顶点式：y=x ²-4x+3=（x-2）²-1∴P点的坐标为（2，-1）
∴BC=√3²+3²=3√2 PC=√2²+4²=2√5 PB=√1²+1²=√2
∵PB²+BC²=（3√2）²+（√2）²=（2√5）=PC²
∴PB⊥BC,∠PBC=90 ° ∴OA/PB=OC/BC∴△BCP∽△OCA(SAS)
③令△BPQ∽△ABC∴AB/BP=AC/BQ=BC/PQ∵AB=2 AC=√1O PB=√2 BC=3√2
∴BQ=√5 PQ=3∴点Q的坐标(3+√5 ,0)