Question

您好还有一道题，过椭圆x^2/16+y^2/4=1内一点M（1，1)的弦AB，求过点M的弦的中点的轨迹方程，谢谢

Answer 1

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x，y) 则 x1+x2=2x，y1+y2=2y
一方面，将A，B代入椭圆方程，得
x1²+4y1²=16 (1)
x2²+4y2²=16 (2)
（2）-（1）得
(x2-x1)(x1+x2)+4(y2-y1)(y1+y2)=0，
当x1≠x2时，有
k=(y2-y1)/(x2-x1)=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]=-x/(4y) (3)
另一方面，M，P也在AB上，所以
k=(y-1)/(x-1) (4)
从而 (y-1)/(x-1)=-x/(4y)
x²+4y²-x-4y=0
当x1=x2=1时，也适合方程，
从而
过点M的弦的中点的轨迹方程为x²+4y²-x-4y=0

Answer 2

先设一条直线方程，让后带入点M坐标（1，1)，得到一个关系式，就可以用含X的式子表示Y了，再把式子带入椭圆方程，得出一个关系式，进而得出Y/2的与X/2的关系式，就可以求出答案

追问

为什么是椭圆的方程？

追答

是和椭圆方程联立之后的出的，因为这条弦与椭圆有交点