Question

平面向量计算方法

Answer 1

向量的运算

加法运算
向量加法的定义 　　
已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC 　　
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，连接DC，因为AD∥BC，且AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。（共起点，对角连）。 　　
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 　　对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。 　　
|a-b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 　　
向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量） 　　
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 　　
（1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。

数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa= 0。 　　
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb（4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。 　　
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

坐标运算
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）
则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j） 　　
=(x1+x2)i+(y1+y2)j 　　
即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。 　　
同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。 　　
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 　　
由此可以得到： 　　
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。 　　
根据上面的结论又可得 　　
若a=(x,y),则λa=(λx,λy) 　　
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

向量的数量积
向量数量积定义： 　　
（1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，则角AOB=θ叫做向量a与b的夹角。 　　
（2）已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 　　
a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。 　　
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 向量的数量积的性质 　　
(1)a·a=∣a∣^2≥0 　　
(2)a·b=b·a 　　
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb) 　　
(4)a·(b+c)=a·b+a·c 　　
(5)a·b=0<=>a⊥b 　　
（6）a=kb<=>a//b 　　
（7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ 　　

向量的混合积 　　
定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 　　
混合积具有下列性质： 　　
1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1） 　　
2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 　　
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 　　
4、(a×b)·c=a·(b×c)

Answer 2

当向量A的终点于向量B的始点相接时,以A的始点为始点,B的终点为终点所构成的向量C,叫做向量B与向量B的和向量,以为C=A+B.此为向量的加法