Question

一道数学题：设f(x)连续，满足f(x)=x+2∫0xf(t)dt(从0到x积分)，求f(x).

一道数学题：设f(x)连续，满足f(x)=x+2∫0xf(t)dt(从0到x积分)，求f(x). 答案是1/2（e^2x-1),这是怎么做出来的，

Answer 1

=两边取导数，得f'(x)=1+2f(x)
令y=f'(x)，则dy/dx=1+2y
dy/(1+2y)=dx
两边取积分，得ln(1+2y)/2=x+C
又f(0)=0，所以C=0
所以ln(1+2y)=2x
y=[e^(2x)-1]/2

追问

请问ln/1+2y/的绝对值符号是怎么去掉的

追答

哦，忘了，还有绝对值。
ln|1+2y|=2x
|1+2y|=e^(2x)
1+2y=正负e^(2x)
y=[-1加减e^(2x)]/2
再把y=[-1-e^(2x)]/2代回题目条件中的话，可以发现条件不成立，所以这个解可以删去。

Answer 2

两边取导数，得f'(x)=1+2f(x)（设y=f(x)）
即要求微分方程dy/dx=1+2y；
分离变量dy/(1+2y)=dx;
两边不定积分有x=(1/2)∫d(1+2y)/(1+2y)=(1/2)ln(1+2y)+C(c为实常数)
又由题知x=0时，f(0)=0+2*∫00f(t)dt=0;
所以x=0，y=0.；代入方程解中有0=0+C => C=0;
x=(1/2)ln(1+2y);即2x=ln(1+2y)即e^2x=1+2y即y=1/2(e^2x-1).

追问

请问ln/1+2y/的绝对值符号是怎么去掉的

Answer 3

先求dy/dx=1+2f(x),可以看出，f’(x)和f(x)必含有e^P(x)项，故设f(x)=a+ke^bx,带入可以解出f(x)=1/2（e^2x-1)