Question

已知椭圆c的中心在坐标原点,焦点在x轴上

已知椭圆c的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2根号3离心率为3分之根号3,经其左焦点F1的直线l交椭圆c于p q两点,
1问：求椭圆c的标准方程,
2问：椭圆右焦点记为F2若F2P垂直于F2Q求直线l的方程

Answer 1

已知椭圆c的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2根号3离心率为3分之根号3,经其左焦点F1的直线l交椭圆c于p q两点,
1问：求椭圆c的标准方程,
2问：椭圆右焦点记为F2若F2P垂直于F2Q求直线l的方程
(1)解析：∵长轴长为2根号3离心率为3分之根号3
∴a=√3,e=c/a=√3/3==>c=1==>b^2=a^2-c^2=2
∴椭圆c的标准方程为：x^2/3+y^2/2=1
(2)解析：∵经其左焦点F1的直线l交椭圆c于p q两点，PF2⊥QF2
F1(-1,0)，F2(1,0)
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)
∴y1/(x1-1)=-(x2-1)/y2==>y1y2=-x1x2+(x1+x2)-1
设直线L方程为x=my-1==>x^2=m^2y^2+1-2my
X1+x2=m(y1+y2)-2, x1x2=m^2y1y2-m(y1+y2)+1
-x1x2+(x1+x2)-1=-m^2y1y2+m(y1+y2)-1+ m(y1+y2)-2-1
=2m(y1+y2)-m^2y1y2-4
∴2m(y1+y2)-(m^2+1)y1y2-4=0
直线L代入椭圆得(2m^2+3)y^2-4my-4=0
由韦达定理得y1+y2=4m/(2m^2+3), y1y2=-4/(2m^2+3)
8m^2/(2m^2+3)+ 4(m^2+1)/(2m^2+3)-4=0
8m^2+4m^2+4-8m^2-12=0==>4m^2-8=0
∴m=±√2
∴直线L方程为x=√2y-1==>√2x-y+√2=0或x=-√2y-1==>√2x+y+√2=0

Answer 2

1、长轴=2a=2√3，则a=√3
离心率e=c/a=√3/3，所以c=1；
则b²=a²-c²=2
所以，椭圆方程为：x²/3+y²/2=1
2、由（1）F1(-1,0)，F2(1,0)
设L：y=k(x+1)，即y=kx+k；（注：斜率不存在的情况也要讨论一下，该题中是不成立的，舍去）
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)；
F2P⊥F2Q，则向量F2P⊥F2Q；
向量F2P=(x1-1,y1)，F2Q=(x2-1,y2)；
向量F2P⊥F2Q，则：(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即：x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=0，①
因为PQ在直线y=k(x+1)上，则y1=k(x1+1)，y2=k(x2+1)；
所以：y1y2=k(x1+1)*k(x2+1)=k²x1x2+k²(x1+x2)+k²，代入①式
得：(k²+1)x1x2+(k²-1)(x1+x2)+k²+1=0，②
直线y=kx+k与椭圆x²/3+y²/2=1联列方程组，消去y，得：
(3k²+2)x²+6k²x+3k²-6=0
由韦达定理：x1+x2=-6k²/(3k²+2)，x1x2=(3k²-6)/(3k²+2)，代入②式，得：
(k²+1)(3k²-6)/(3k²+2)-6k²(k²-1)/(3k²+2)+k²+1=0
去分母：(k²+1)(3k²-6)-6k²(k²-1)+(k²+1)(3k²+2)=0
3k^4-3k²-6-6k^4+6k²+3k^4+5k²+2=0
8k²-4=0
k²=1/2
k=±√2/2
所以，L：y=±(√2/2)(x+1)

祝你开心！希望能帮到你。。。

Answer 3

长轴长为2根号3，则a=2倍根号3
离心率为3分之根号3,则e=c/a=根号3/3，则c=2，b=根号下（a平方-c平方）=2倍根号2
则椭圆方程为：x平方/12+y平方/8=1

追问

第二问呢？椭圆右焦点记为F2若F2P垂直于F2Q求直线l的方程