Question

如图，正方形ABCD的边长是1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2，求：

如图，正方形ABCD的边长是1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2，求：（1）∠MAN的大小；（2）△MAN的面积的最小值

【要求】：用初中的知识点做！！不要用高中的知识！！！比如二次函数的方法就不要用！不能用二次函数方法！！！！！谢谢！！！！！满足要求的！！！满意的再追加30分！！！

Answer 1

解答：
1、将直角△ADN△顺时针旋转90°到直角△ABL位置，
则△ADN≌△ABL，∴AN=AL，∠1=∠2，∴∠NAL=90°，
设DN=x，则CN=1－x，BL=x，设BM=y，则CM=1－y，
∴由周长公式得：﹙1－x﹚＋﹙1－y﹚＋NM=2，
∴NM=x＋y=LM，AN=AL，AM=AM，
∴△ANM≌△ALM﹙SSS﹚，
∴∠NAM=∠LAM=90°／2=45°。
2、设同上，在直角△CMN中，
由勾股定理得：﹙1－x﹚²＋﹙1－y﹚²=﹙x＋y﹚²，
展开解得：x＋y=1，
并代入后面面积公式：由△面积公式得：
△AMN面积S=正方形面积－﹙△ADN面积＋△CNM面积＋△ABM面积﹚
=1－﹙½x＋½xy＋½y﹚
=½[1－x﹙1－x﹚]
=½﹙x²－x＋1﹚
=½[x²－x＋¼－¼＋1]
=½﹙x－½﹚²＋3／8，
∴只有当x=½时，S最小=3／8。
即△AMN的最小面积=3／8。

Answer 2

解：（1）如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，
∠1=∠2，∠NAL=∠DAB=90°
又MN=2-CN-OM=DN+BM=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°
（2）设CM=x，CN=y，MN=z
x2+y2=z2
∵x+y+z=2，则x=2-y-z
于是（2-y-z）2+y2=z2
整理得2y2+（2z-4）y+（4-4z）=0
∴△=4（z-2）2-32（1-z）≥0
即（z+2+ 2根号2）（z+2- 2根号2）≥0
又∵z＞0
∴z≥ 2根号2-2当且仅当x=y=2- 根号2时等号成立
此时S△AMN=S△AML= 1/2ML•AB= 1/2z
因此，当z= 2根号2-2，x=y=2- 根号2时，S△AMN取到最小值为根号 2-1．
望采纳(*^__^*)

Answer 3

解：1、延长CB，在延长线上截取BL＝DN，连接AL
∵正方形ABCD的边长是1
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1
∵∠ABL＝∠D＝90,DN＝BL
∴△AND全等于△ABL
∴AN＝AL，∠BAL＝∠NAD
∵∠NAD+∠NAM+∠MAB＝90
∴∠BAL+∠NAM+∠MAB＝90
∴∠NAL＝90
∵DN＝DC-CN＝1-CN
BM＝BC-CM＝1-CM
∴DN+BM＝2-CN-CM
∴BL+BM＝2-CN-CM
∴ML＝2-CM-CN
∵△CMN周长为2
∴MN+CN+CM＝2
∴MN＝2-C-CN
∴MN＝ML
∴△NAM全等于△LAM
∴∠NAM＝∠LAM
∴∠NAM＝∠NAL/2＝90/2＝45
2、
因点N在CD上，∠NAM＝45
则当点N与D重合时M与C重合
则C、M、N在一条直线上
则S△CMN＝0
所以，△CMN的最小面积为0