求极限4个题

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百度网友8362f66
2017-05-27 · TA获得超过8.3万个赞
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解:(9)题,设S=cos(x/2)cos(x/4)……cos(x/2^n),则两边同乘以2sin(x/2^n)后,再依次在等式两边同乘以2,有(2^n)sin(x/2^n)S=sin(x/2)。
∴原式=lim(n)sin(x/2)/[(2^n)sin(x/2^n)]=sin(x/2)/x。
(10)题,∵丨sin(1/x)丨≤1,∴(sinx-x^2)/[(1+cosx)ln(1+x)]≤(sinx+x^2sin(1/x))/[(1+cosx)ln(1+x)]≤(sinx+x^2)/[(1+cosx)ln(1+x)],而lim(x→0)(sinx±x^2)/[(1+cosx)ln(1+x)]=1/2,∴原式=1/2。
(11)题,用等价无穷小量替换求解,x→0时,ln(1+x)~x-(1/2)x^2,∴原式=lim(x→0)=(1/2)a^2。
(12)题,原式=lim(x→∞){[(x+a)/(x+a+b)]^(x+a)}{[(x+b)/(x+a+b)]^(x+b)}=lim(x→∞){[1-b/(x+a+b)]^(x+a)}{[1-a/(x+a+b)]^(x+b)}=e^(-a-b)。
供参考。
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