Question

已知二次函数y=1/2x²+x+m的图像C1与x轴有两个不同的交点。(1)求m的取值范围

（2）若二次函数y=1/2x²+x+m的图像C1与x轴两交点的距离为2，求m的值。（3）在（2）的条件下将图像C1向左平移若干个单位后得图像C2，并使C2经过点A（-1，3/2），求C2的函数关系式，并求C2的顶点B的坐标；

Answer 1

解：
(1)
方程x²/2+x+m=0判别式>0
1-4(1/2)m>0
整理，得2m<1
m<1/2
(2)
设方程x²/2+x+m=0两实根分别为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=-2
x1x2=2m
由题意得|x1-x2|=2
(x1-x2)²=4
(x1+x2)²-4x1x2=4
(-2)²-4(2m)=4
整理，得8m=0
m=0
(3)
m=0代入函数方程：
y=x²/2+x=(1/2)(x+1)²-1/2
设函数图像向左平移t个单位(t>0)，变为y'=(1/2)(x+1-t)²-1/2
x=-1 y=3/2代入，整理，得
t²=4
t=2
y'=(1/2)(x+1-2)²-1/2=x²/2-x，C2函数关系式为y=x²/2-x
y'=x²/2-x=(1/2)(x-1)²-1/2
顶点坐标(1，-1/2)