Question

如何证明一个函数有界和无界

看到一个函数 证明有界 或 无界 的思路是什么 例如fx=1/sinx

Answer 1

有界函数的证明：

设函数f（x）定义在一组实数a上。如果存在一个对所有x<a都具有不等式f（x）<m的正数m，则函数f（x）在a上有界。如果没有正数m的定义，则函数f（x）在a上无界，函数f在d上定义。如果存在m（l），那么对于每个x<d，存在：孪生（x）=m（x）>l）

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。

无界函数的证明：

设函数

的定义域为D，若存在一个常数M(L)，使得

，都有

则称

为D内有上(下)界的函数，数M(L)称为

在D内的一个上(下)界。

扩展资料

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的，如果存在一个数M> 0，使得对于所有的自然数n，都有：

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

参考资料来源：百度百科-有界函数

参考资料来源：百度百科-无界函数

Answer 2

证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足|f(x)|<M
证明无界的思路是：对任意正数M，总存在x，使得|f(x)|>M