Question

椭圆两个焦点F1,F2分别为(-5根号3,0) ，P为椭圆上的一点,（点P在第三象限）

椭圆两个焦点F1,F2分别为(-5根号3,0) ，P为椭圆上的一点,（点P在第三象限）且三角形PF1F2的周长等于20+10根号3,若以点P为圆心的圆经过椭圆的左顶点M与点C(-2,0),直线MP交圆P于另一点N，试在椭圆上找一点A使得向量AM*向量AN取得最小值，并求出最小值。

Answer 1

设椭圆的长短半轴分别为a,b。
PF1F2的周长等于F1F2的长加上PF1+PF2，F1F2=10根号3，所以PF1+PF2=2a=20
所以a=10,由c=5根号3，得b=5.
M为（-10,0)，C(-2,0)，根据垂径定理可知P点横坐标为-6，所以P（-6,-4）
进一步可求得N(-2,-8)
因为向量AM-AN=NM
所以(AM-AN)^2=NM^2=128，为定值
又(AM-AN)^2=(AM+AN)^2-4AM*AN
所以(AM+AN)^2-4AM*AN=128
要使AM*AN最小，则|AM+AN|必须最小。
明显，当A和P重合时，|AM+AN|最小为0，此时AM*AN取最小值-32