Question

初二奥数题

如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ACD=270°，且E、F分别为AD、BC的中点，EF=4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆。则这两个半圆的面积和是多少？
（圆周率为π）
顺便问一下，能证出AD平行于BC吗？
回答越快越好，本人可在线等

Answer 1

解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=360°-270°=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM= 1/2AB，FM= 1/2CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°-90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME²+FM²=EF²=42=16，
∴阴影部分的面积是： 12π (AB/2)²+ 12π(CD/2)²= 12π×（ME/2+FM/2）= 12π×16=8π．
AD与BC不一定平行，只不过图上画得像而已。

追问

那如果延长AB、CD交于点P。P、E、F在一条直线上吗？

追答

在一条直线，证不出来。。。

追问

哦

Answer 2

以AD、CD为边作平行四边形ADCG，有AG=CD，AD=CG，AD∥CG，
∠BAD+∠ACD=270°，得∠BAG=90°
连接BG，取BG的中点H，连接AH、FH，
△BCG中，F是BC的中点，H是BG的中点，有HF∥CG，HF=CG/2，
于是HF∥AD，又AE=AD/2，
得HF∥AE且HF=AE，
故AEFH是平行四边形，有AH=EF，
∠BAG=90°，有AB²+AG²=BG²，即AB²+CD²=BG²，
又H是BG的中点，有BG=2AH=2EF=8，得AB²+CD²=64，
阴影部分面积为π (AB/2)²/2+ π(CD/2)²/2= π(AB²+CD²)/8=8π。

追问

为啥BG=2AH