Question

问几道数学分析题

10道不定积分，一道微分中值定理，两道泰勒公式题，需要详细过程
其他题都懂了，就差题号16的那道题了，做出来我看懂了就给最佳了

Answer 1

既然其他的LZ已搞定，我就说一下16题吧~~
如果没见过类似的方法，这题的确很难。

设A满足f(b)=f(a)+(b-a)[f'(a)+f'(b)]/2-A(b-a)³/12. (把原来等式的f'''(ξ)换成A)
只要证明存在ξ∈(a,b)使得f'''(ξ)=A即可.

记F(x)=-f(x)+f(a)+(x-a)[f'(a)+f'(x)]/2-A(x-a)³/12. (这个辅助函数看似复杂，其实是把原来等式左右相减, 再把b都换成x)

直接计算可得:
F'(x)=[f'(a)-f'(x)]/2+f''(x)(x-a)/2+A(x-a)² /4.
F''(x)=(x-a)(f'''(x)-A)/2.

显然F(a)=F'(a)=0, 由A的取法可知F(b)=0.

F(a)=0=F(b), 由Rolle定理可知存在c∈(a,b)使得F'(c)=0.
F'(a)=0=F'(c), 由Rolle定理可知存在ξ∈(a,c)使得F''(ξ)=0.

ξ>a, 故F''(ξ)=0 => f'''(ξ)=A.

令人意外的是，这种方法居然还有一定的一般性！有一类中值定理的问题都可用此法解决。

Answer 2

1
∫sinxdx/(asinx+bcosx)
=∫sinxdx/(√(a^2+b^2)sin(x+u)) cosu=a/√(a^2+b^2) sinu=b/√(a^2+b^2)
=∫[sin(x+u)cosu-cos(x+u)sinu]dx/√(a^2+b^2)sin(x+u)
=∫a/(a^2+b^2)dx -(b/(a^2+b^2))∫dsin(x+u)/sin(x+u)
=ax/(a^2+b^2)-(b/(a^2+b^2))ln|sin(x+arcsin(b/√(a^2+b^2))| +C

2
∫sinxdx/(sinx-cosx+2)

3
∫√[(2+x)/(2-x)]dx
x=2cosu dx=-2sinudu
=∫-2(1+cosu)sinudu/sinu
=-2∫(1+cosu)du
=-2u-2sinu+C
=-2arccos(x/2)-√(4-x^2)+C

4
∫dx/x√(x^2+x+1)
=∫dx/[x^2√(1+1/x+1/x^2)
=-∫d(1/x)/√[(1/2+1/x)^2+3/4]
=-∫d[(2/x+1)/√3]/√[(2/x+1)^2/3+1]
(2/x+1)/√3=u
=-∫du/√(u^2+1)
u=tanv du=secv^2dv
=-∫sevcvdv=-ln|secv+tanv|+C0=-ln|√(1+u^2)+u|+C0
=-ln|√(1+[(2/x+1)/√3]^2 +(2/x+1)/√3|+C0
=-ln|√(4+4/x^2+4/x)+(2/x+1)| +C1

5
∫dx/[x+√(x^2+x+1)]

6
∫dx/[x√(4-x^2)
=(-1/2)∫d(2/x)/√[(2/x)^2-1]
2/x=secu d(2/x)=secutanudu
=(-1/2)∫secudu
=(-1/2)sinu+C=(-1/2)√[1-(x/2)^2]+C
=(-1/4)√(4-x^2)+C

7
∫[(2-x)^(1/3)/(2+x)^(1/3)]dx/(2-x)^2
=∫[(2+x)/(2-x)]^(-1/3)dx/(2-x)^2
=∫[4/(2-x)-1]^(-1/3)d(1/(2-x))
=(1/4)*(2/3)[4/(2-x)-1]^(2/3)+C
=(1/6)[4/(2-x)-1]^(2/3)+C

8
∫dx/[(x+1)+√(x^2+4x+5)]

9
∫√[(1-x)/(1+x)]dx
x=cosu dx=-sinudu
=∫(1-cosu)(-sinu)du/sinu
=∫(cosu-1)du
=sinu-u+C
=√(1-x^2)-arccosx+C

10
∫√tanxdx
√tanx=u x=arctanu^2 dx=2udu/(1+u^4)
=∫2u^2du/(1+u^4)
=∫2u^2du/[(1+u^2+√2u)(1+u^2-√2u)]
=(1/√2)[∫udu/(1+u^2-√2u) -∫udu/(1+u^2+√2u)]
=(1/2√2)ln[|1+u^2-√2u|/|1+u^2+√2u| ] +(1/2)[∫du/(1+u^2-√2u)-∫du/(1+u^2+√2u)
=(1/2√2)ln|1+u^2-√2u|/|1+u^2+√2u| +(1/2)∫d(u-√2/2)/[(u-√2/2)^2+1/2] -(1/2)∫d(u+√2/2)/[(u+√2/2)^2+1/2]
=(1/2√2)ln|1+tanx-√(2tanx)|/|1+tanx-√(2tanx)| +(√2/2)[arctan(√(2tanx)-1)-artan(√(2tanx)+1) +C

Answer 3

46.
f(x)=f''(0)x^2/2+f'''(ξ)x^3/6,ξ∈(-1,1)
f(1)-f(-1)=1-0=1≤f'''(ξ)/3
3≤f'''(ξ)

(9)
令I=∫sinxdx/(asinx+bcosx)=Ax+Bln|asinx+bcosx|+C
I'=sinx/(asinx+bcosx)=A+B(acosx-bsinx)
aA-bB=1,Ab+Ba=0
A=a/(a^2+b^2),B=-b/(a^2+b^2)
I=[ax-bln|asinx+bcosx|]/(a^2+b^2)+C

追问

恩，这两道题懂了，多谢

Answer 4

做到脖子都僵了。。。

追问

这几道不定积分题大概懂了，能做出16题就给你最佳了。

追答

晕..有些牵强

追问

懂了，你的方法应该是对的，那三个ξ要分别记为ξ1、ξ2、ξ3，ξ1、ξ2可以用达布定理变成一个，就是ξ3不好处理。。。

追答

我一开始是用ξ1、ξ3、ξ2表示的。。。但是我没学过达布定理这个定理。。所以不知怎么写下去。。一开始想用3f(ξ3)-f(ξ1)-f(ξ2)=f(ξ4).用零点定理的。但给的条件太少了..sorry.帮不了你

Answer 5

这几道题目在数学分析习题集中都是有的，不定积分主要就是换元，前两个可以配一个cosX什么的，后两道题目典型的taylor展开，然后不等式简单估计

追问

这几道题就是武胜建的数学分析那本书上的习题，不过答案没有过程，你说的那本数学分析习题集是哪一本呢

Answer 6

还是自己写写吧，总写的出几道，写不出可以问问老师嘛