Question

问一道数学分析题目

指数是在x上的，不在sinx上

Answer 1

是比较麻烦,原想分区间的,分成(0,1)和(1,π/2),可发现分区间后两部分大小还是无法比较,
在平方和立方条件下,(0,π/2)这个区间范围还不如(0,1),(0,2)这样来得利索,π就是添乱的
从哪找出这题的,与其想办法比较我觉得还不如用计算机近似计算一下来得更快
以以下方法进行计算
分成(0,1)和(1,π/2)
在两区间上分别计算两积分的差值,一个为正,一个为负
若是区间(0,1)与(1,2),则明显∫(0,1)(sinx²-sinx³)dx<∫(1,2)(sinx³-sinx²)dx 此点可用导数增减性证明,后者被积函数增速快
但现在是(0,1)和(1,π/2)也就是大约(1,1.57)的范围,缩放一下,缩成(1,1.5),这个区间长度是(0,1)的一半,以x=1为中轴,比较左边(0,1)范围内2(sinx²-sinx³)与与右边(1,1.5)区间上(sinx³-sinx²)的大小,还要经过一定的比较才能算出结果来,我用x²和x³近似计算了一下,应该是后者比较小
2(sinx²-sinx³)中2的来由是由定积分定义式得来的,将两个区间各等划分为N份,右边两份小区间长度才能等于左边一份小区间长度

补充:我的方法也有问题,区间需要分成三部分讨论才行
正好(1.5,π/2)上,x²+x³>π,由π-x²>π-x³知,此时(sinx²-sinx³)为正,可以直接在放缩中去掉

Answer 2

当0<=x<=π/2时
0<=sinx<=1
(sinx)^2>=(sinx)^3
且存在0<x0<π/2，使得(sinx0)^2>(sinx0)^3
所以，积分[0,π/2](sinx)^2dx>积分[0,π/2](sinx)^3dx

追问

麻烦你看清题目，指数是在x上的

Answer 3

当 0<x<1 时，0<x^3<x^2<1<π/2 ，因此 sinx^2>sinx^3 ；
令 x^2+x^3=π 的唯一实根为 a （a≈1.196），
当 1<x<a 时，sinx^2<sinx^3 ，
当 a<x<π/2 时，sinx^2>sinx^3 ，
把它们俩的差的积分分成三段：①[0，1] 、②[1，a] 、③[a ，π/2] ，
其中①>0 ，②>-1*(a-1) ，③>

追问

还是不能判断啊？这题绝对没错误，是考研题

追答

哈，我就是第三段的估值没法弄，所以停了。
事实上，第三段的值比前两段的绝对值的和都大，因此最后是“大于”肯定没问题。但中间的证明确实有点难。

Answer 4

∫(π/2,0)(sin²x-sin³x)dx=∫(π/2,0)[(1-cos2x)/2-(1-cos²x)sinx]dx=(x/2-sin2x/4)|(π/2,0)+∫(π/2,0)(1-cos²x)dcosx=π/4+(cosx-cos³x/3)|(π/2,0)=π/4+1-1/3=π/4+2/3=(3π+8)/12＞0
所以前者大于后者

追问

拜托，指数是在x上的

追答

对的啊，你看我写的没问题啊

Answer 5

根据定积分四则运算法则，将两式相减，定积分可以提出来，让函数相减。
也就是 定积分的（sin x^2 - sin x^3）。
在0到π/2区间上，sin x和 x^n都是增函数，所以减式小于0.
也即 定积分 sin x^2 小于 定积分 sin x^3 。

Answer 6

∫ sinx^2 dx= 1/(2x)∫2xsinx^2= -1/(2x)cosx^2 同理 ∫sinx^3 dx = -1/(3x^2)cosx^3 比较-1/(3x^2)cosx^3 和-1/(2x)cosx^2 ，呃我阵亡了

Answer 7

＜