Question

已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（其中a∈R，e为自然对数底数）

（1）求函数g（x）在（0，e]上的值域 （2）若不等式f（x）>0对任意x∈（0，1/2）恒成立，求实数a的取值范围。 （3）若对于任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的Xi（i=1，2），使得f（Xi）=g（x0）成立，求a的取值范围。 要求详细步骤，急！好的50分。

Answer 1

解：（I）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f'（x）=1-$\frac{2}{x}$，
由f'（x）＞0，得x＞2；由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（II）因为f（x）＜0在区间$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立不可能，
故要使函数$f（x）在（0，\frac{1}{2}）$上无零点，
只要对任意的$x∈（0，\frac{1}{2}）$，f（x）＞0恒成立，即对$x∈（0，\frac{1}{2}），a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立．
令$l（x）=2-\frac{2lnx}{x-1}，x∈（0，\frac{1}{2}）$，则$l（x）=-\frac{{\frac{2}{x}（x-1）-2lnx}}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{{2lnx+\frac{2}{x}-2}}{{{{（x-1）}^2}}}$，
再令$m（x）=2lnx+\frac{2}{x}-2，x∈（0，\frac{1}{2}）$，
则$m'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{-2（1-x）}{x^2}＜0$，故m（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上为减函数，于是$m（x）＞m（\frac{1}{2}）=2-2ln2＞0$，
从而，l（x）＞0，于是l（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上为增函数，所以$l（x）＜l（\frac{1}{2}）=2-4ln2$，
故要使$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上无零点，则a的最小值为2-4ln2；
（III）g'（x）=e1-x-xe1-x=（1-x）e1-x，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，e]时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减．
又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1-e＞0，
所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不合题意；当a≠2时，f'（x）=$2-a-\frac{2}{x}=\frac{（2-a）x-2}{x}=\frac{{（2-a）（x-\frac{2}{2-a}）}}{x}$，x∈（0，e]
当x=$\frac{2}{2-a}$时，f'（x）=0．
由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故$0＜\frac{2}{2-a}＜e$，即$a＜2-\frac{2}{e}$①
此时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

又因为，当x→0时，f（x）→+∞，
$f（\frac{2}{2-a}）=a-2ln\frac{2}{2-a}，f（e）=（2-a）（e-1）-2$，
所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），
使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：
$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{2}{2-a}）≤0}\\{f（e）≥1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a-2ln\frac{2}{2-a}≤0②}\\{（2-a）（e-1）-2≥1③}\end{array}\right.$
令h（a）=$a-2ln\frac{2}{2-a}，a∈（-∞，2-\frac{2}{e}）$，
则h$'（a）=1-2[ln2-ln（2-a）]'=1-\frac{2}{2-a}=\frac{a}{a-2}$，令h'（a）=0，得a=0或a=2，
故当a∈（-∞，0）时，h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；
当$a∈（0，2-\frac{2}{e}）$时，h'（a）＜0，函数h（a）单调递减．
所以，对任意$a∈（-∞，2-\frac{2}{e}）$，有h（a）≤h（0）=0，
即②对任意$a∈（-∞，2-\frac{2}{e}）$恒成立．
由③式解得：$a≤2-\frac{3}{e-1}$．④
综合①④可知，当$a∈（{-∞，2-\frac{3}{e-1}}]$时，对任意给定的x0∈（0，e]，
在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），
使f（xi）=g（x0）成立．

Answer 2

苦逼的高三党，你苍南的吧。我们试卷是一样的

Answer 3

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