Question

周期函数的导数也是周期函数吗假如f（x）是可导

Answer 1

综述：如果可导，则周期函数的导数也是其本身。

假设 f(x+T) = f(x)那么 f'(x+T) = d f(x+T) / d (x +T)= d f(x+T) / d(x) * dx/ d(x+T) = d f(x) / d(x) * 1 = f'(x)，因此 f'(x+T) = f'(x) 。所以周期函数导数也是周期函数。

周期函数简介：

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

以上内容参考 百度百科-周期函数

Answer 2

具体如下：

令y=x+T，Δx=x-x0

则Δy=x+T-（x0+T）=Δx

于是根据定义有f'（x+T）

=limΔx→0（【f（x+T+Δx）-f（x+T）】/Δx）

=limΔx→0（【f（x+Δx）-f（x）】/Δx）

=f'（x）

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

Answer 3

也是周期函数，证明过程如图所示

Answer 4

是。
设函数f(x)的周期为T，则：
f(x+T)=f(x)
f'(x+T)=df(x+T)/dx=df(x)/dx=f'(x)

Answer 5

对的。
假设 f(x+T) = f(x)
那么 f'(x+T) = d f(x+T) / d (x +T)= d f(x+T) / d(x) * dx/ d(x+T)
= d f(x) / d(x) * 1 = f'(x)
因此 f'(x+T) = f'(x)