Question

(x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0解齐次方程式求通解

(x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0解齐次方程式求通解

Answer 1

令y/（x－1）＝u，则：y＝（x－1）u，∴dy/dx＝u＋（x－1）du/dx，
∴由（x－y－1）dx＋（4y＋x－1）dy＝0，得：
［1－y/（x－1）］＋［4＋y/（x－1）］dy/dx＝0，
∴1－u＋（4＋u）［u＋（x－1）du/dx］＝0，
∴u＋（x－1）du/dx＝（u－1）/（4＋u），
∴（x－1）du/dx＝（u－1）/（4＋u）－u＝（u－1－4u－u^2）/（4＋u），
∴［（4＋u）/（u^2－3u＋1）］du＝［1/（1－x）］dx，
∴［（2u－3＋11）/（u^2－3u＋1）］du＝2d｜1－x｜，
∴2ln｜1－x｜＝∫［（2u－3）/（u^2－3u＋1）］du＋11∫［1/（u^2－3u＋1）］du，
∴2ln｜1－x｜＝∫∫［1/（u^2－3u＋1）］d（u^2－3u＋1）＋11∫［1/（u^2－3u＋1）］du，
∴2ln｜1－x｜＝ln｜u^2－3u＋1｜＋11∫｛1/［（u－3/2）^2－5/4］｝du，
∴2ln｜1－x｜＝ln｜u^2－3u＋1｜＋11∫｛1/［（u－3/2＋√5/2）（u－3/2－√5/2）］du，
∴2ln｜1－x｜＝ln｜u^2－3u＋1｜
＋（11/√5）∫［1/（u－3/2－√5/2）－1/（u－3/2＋√5/2）］du，
∴2ln｜1－x｜＝ln｜u^2－3u＋1｜＋（11/√5）ln｜u－3/2－√5/2｜
－（11/√5）ln｜u－3/2＋√5/2｜＋C，
∴2ln｜1－x｜
＝ln｜y^2/（x－1）^2－3y/（x－1）＋1｜＋（11/√5）ln｜y/（x－1）－3/2－√5/2｜
－（11/√5）ln｜y/（x－1）－3/2＋√5/2｜＋C。
∴原微分方程的通解是：
2ln｜1－x｜
＝ln｜y^2/（x－1）^2－3y/（x－1）＋1｜＋（11/√5）ln｜y/（x－1）－3/2－√5/2｜
－（11/√5）ln｜y/（x－1）－3/2＋√5/2｜＋C。