Question

设是由曲线与直线所谓图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积，问取何值时，最大？并求出最大值.

Answer 1

实际上这里要用到球缺的体积公式：V=π*h^2*(R-(h/3))(R为球体半径，h为球缺的高)；
y=√(2x-x^2)可化为(x-1)^2+y^2=1(y≥0)，它绕x轴旋转一周后为半径为1球体；
而因为两直线x=t和x=2t与之围成的图形体积，需用球体体积减去两个球缺体积；
球缺即用一个平面去截一个球的一部分（不大于一个半球，比半球大叫做球冠）所得的余下的部分叫球缺。
设x=t截去的为球缺1，则h1=t；x=2t截去的为球缺2，则h2=2-2t；
∴V球缺1=π*t^2*(1-(t/3))=(π/3)*(3t^2-t^3)
V球缺2=π*(2-2t)^2*(1-((2-2t)/3))=(π/3)*(8t^3-12t^2+4)
V球缺1+V球缺2=(π/3)*(7t^3-9t^2+4)
∴V(t)=V球-V球缺1-V球缺2
=(4π/3)-(π/3)*(7t^3-9t^2+4)
=(π/3)*(-7t^3+9t^2)
对V(t)求导(如果还没学导数可用验证函数单调区间的方法)：
V'(t)=π(-7t^2+6t)
当V'(t)≥0时，0≤t≤6/7；当V'(t)＜0时，t＜0或t＞6/7
∵0＜t＜1
∴V(t)在(0，6/7]上单调递增，在(6/7，1)上单调递减
∴当t=6/7时，V(t)最大；带入可得Vmax(t)=36π/49