Question

高中数学反函数问题: 设y=f(x)的反函数是y=g(x)，如果f(ab)=f(a)+f(b)，那

高中数学反函数问题:
设y=f(x)的反函数是y=g(x)，如果f(ab)=f(a)+f(b)，那么是否必有g(a+b)=g(a)g(b)？请说明理由

Answer 1

当函数y=f(x)的定义域和值域完全相同时，则原函数与反函数的定义域、值域都相同，那么，g(a+b)=g(a)g(b)才成立；

设f(a)=m，f(b)=n，则a=g(m)，b=g(n)，
因为f(ab)=f(a)+f(b)，所以f(ab)=m+n，所以ab=g(m+n)，g(m)g(n)=g(m+n)，
因为原函数与反函数的定义域、值域都相同，所以g(a)g(b)=g(a+b).
若有帮助，请采纳哦

追问

你好！感觉以下两个题应该是两个完全不同的题目:

题目①:已知f(x)与g(x)互为反函数，且f(x)对其定义域内任意实数均有f(ab)=f(a)+f(b)，请问g(x)对其定义域内任意实数a,b是否都有g(a+b)=g(a)g(b)？

题目②:已知f(x)与g(x)互为反函数，a,b为f(x)定义域内两个定值，且f(ab)=f(a)+f(b)，请问此时是否必有g(a+b)=g(a)g(b)？

大多数人都是考虑回答的问题①，其实提问的那个问题应该是问题②，但对于问题②，首先要考虑定义域问题，即首先要证明为什么f(x)的定义域中有a,b,ab时，g(x)的定义域内一定有a,b,a+b？

追答

大家都知道，原函数的定义域就是其反函数的值域，原函数的值域就是其反函数的定义域；
题目假如就是像你所说的，是指问题2，那么，a、b、ab是其定义域内确定的三个值，既然是确定的，那么，它的值域里就必有a、b、a+b，也就是说其反函数g(x)定义域一定有a、b、a+b的；
又因为原函数定义域和反函数定义域都出现了a、b，所以我强调该函数的定义域与值域完全相同。

Answer 2

解这道题要理解反函数的性质。y=f(x)的反函数是y=g(x)，那么 设f(a)=m，则g(m)=a。要理解这个关系 那么这道题就很好解决了。
我们设f（a）=m，f（b）=n，由于g（x）是f（x）的反函数，
∴g（m）=a，g（n）=b，
从而m+n=f（a）+f（b）=f（ab）=f[g（m）•g（n）]，
f[g（m）•g（n）]=m+n

那么由反函数关系： g（m+n）=g（m）•g（n）
以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a+b）=g（a）•g（b）．
望即使采纳！~谢谢

追问

大多数人都是考虑回答的问题①，但对于问题②，首先要考虑定义域问题，即首先要证明f(x)的定义域中有a,b,ab时，g(x)的定义域中一定有a,b,a+b

其实提问的那个应该是问题②，问题①看了您的解答后我会了，但问题②必须要证明一个问题，就是为什么f(x)的定义域中有a,b,ab时，g(x)的定义域内一定有a,b,a+b？

你好！感觉以下两个题应该是两个完全不同的题目:

题目①:已知f(x)与g(x)互为反函数，且f(x)对其定义域内任意实数均有f(ab)=f(a)+f(b)，请问g(x)对其定义域内任意实数a,b是否都有g(a+b)=g(a)g(b)？

题目②:已知f(x)与g(x)互为反函数，a,b为f(x)定义域内两个定值，且f(ab)=f(a)+f(b)，请问此时是否必有g(a+b)=g(a)g(b)？

Answer 3

设m=f(a)，则：a=g(m)
设n=f(b)，则：b=g(n)
而：f(ab)=f(a)+f(b)=m+n
所以：g(m+n)=ab=g(m+n)
所以：存在g(a+b)=g(a)g(b)这种形式的等式，只不过其中的a,b要用f(a),f(b)取代

追问

你好！感觉以下两个题应该是两个完全不同的题目:

题目①:已知f(x)与g(x)互为反函数，且f(x)对其定义域内任意实数均有f(ab)=f(a)+f(b)，请问g(x)对其定义域内任意实数a,b是否都有g(a+b)=g(a)g(b)？

题目②:已知f(x)与g(x)互为反函数，a,b为f(x)定义域内两个定值，且f(ab)=f(a)+f(b)，请问此时是否必有g(a+b)=g(a)g(b)？

大多数人都是考虑回答的问题①，其实提问的那个问题应该是问题②，但对于问题②，首先要考虑定义域问题，即首先要证明为什么f(x)的定义域中有a,b,ab时，g(x)的定义域内一定有a,b,a+b？

追答

百度百科上关于反函数是这么说的：
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
***************************************************************************************************************
所以，根据以上，不需要讨论定义域和值域，因为函数和反函数的值域和定义域的关系是明确的。

Answer 4

是的，一定成立。证明如下：
设 x＝f(a)，y＝f(b)，
则 a＝g(x)，b＝g(y)，
已知 f(ab)＝f(a)＋f(b)＝x＋y，
所以 ab＝g(x＋y)，
即 g(x)g(y)＝g(x＋y)，
用 a、b 替换 x、y 即得所证。

追问

你好！感觉以下两个题应该是两个完全不同的题目:

题目①:已知f(x)与g(x)互为反函数，且f(x)对其定义域内任意实数均有f(ab)=f(a)+f(b)，请问g(x)对其定义域内任意实数a,b是否都有g(a+b)=g(a)g(b)？

题目②:已知f(x)与g(x)互为反函数，a,b为f(x)定义域内两个定值，且f(ab)=f(a)+f(b)，请问此时是否必有g(a+b)=g(a)g(b)？

大多数人都是考虑回答的问题①，其实提问的那个问题应该是问题②，但对于问题②，首先要考虑定义域问题，即首先要证明为什么f(x)的定义域中有a,b,ab时，g(x)的定义域内一定有a,b,a+b？

追答

你说的问题还真是一个问题哈，
虽然对定义域内的 x、y 成立等式 g(x+y) = g(x)g(y)，但对前面的 a、b ，却不一定属于定义域。
是我的思维出现了纰漏。这个还真得考虑，至少在最后下结论时要指出 a、b 是否属于定义域。

追问

那你考虑下这个问题②？

感觉第②问这个定义域问题很难想

追答

前面的推理不再写了，最后应该是这个结论：
所以，当 a、b、a+b 也同时属于 g(x) 定义域时，一定有 g(a+b) = g(a)g(b) ；
当 a 或 b 或 a+b 不属于 g(x) 定义域时，g(a+b)=g(a)g(b) 不成立。

Answer 5

(1)把8代入f(x)中解得
x=2
实际就是求log以3为底8+z的对数
（2）把方程改为(2^-x)=3-(x^2)
可看作
是求函数y=(2^-x)与函数y=3-(x^2)的交点··画图可知·有一个交点····
（3）因为是偶函数所以1.f(x)=f(-x)
2.因为定义域在r上且为偶函数
关于y轴对称
所以f(0)=4求得a=正负根号2
b=-2