设函数F(X)在(-∞,+∞)上有定义,且对任何X,Y有F(X×Y)=F(X)×F(Y)-X-Y,求F(X).
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解答:因为函数F(X)在(-∞,+∞)上有定义,且对任何X,Y有F(X*Y)=F(X)*F(Y)-X-Y
假设x=0,y=0时,F(X×Y)=F(X)×F(Y)-X-Y
有:
F(0)=F(0)×F(0)-0-0
所以:F(0)=0或F(0)=1
(1)
令x=1,y=1,则有:F(1)=F(1)×F(1)-1-1
F²(1)-F(1)-2=0
F(1)=2或者F(1)=-1
(2)
令x=0,y=1时,则有:F(0)=F(0)×F(1)-0-1
(3)
所以(1)式中的F(0)=0不成立,所以F(0)=1,代入(3)式中得:F(1)=2
所以当y=1时,X取任意值,有:F(X×1)=F(X)×F(1)-X-1
F(X)=2*F(X)-X-1
F(X)=X+1
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有:
F(0)=F(0)×F(0)-0-0
所以:F(0)=0或F(0)=1
(1)
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F²(1)-F(1)-2=0
F(1)=2或者F(1)=-1
(2)
令x=0,y=1时,则有:F(0)=F(0)×F(1)-0-1
(3)
所以(1)式中的F(0)=0不成立,所以F(0)=1,代入(3)式中得:F(1)=2
所以当y=1时,X取任意值,有:F(X×1)=F(X)×F(1)-X-1
F(X)=2*F(X)-X-1
F(X)=X+1
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有:
F(0)=F(0)×F(0)-0-0
所以:F(0)=0或F(0)=1
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F²(1)-F(1)-2=0
F(1)=2或者F(1)=-1
(2)
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(3)
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祝你学业有成。我Q809103033.不会的Q我
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(2)
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(3)
所以(1)式中的F(0)=0不成立,所以F(0)=1,代入(3)式中得:F(1)=2
所以当y=1时,X取任意值,有:F(X×1)=F(X)×F(1)-X-1
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f(x·y)=f(x)·f(y),令x,y都等于0,即f(0)=f²(0),因为f(x)≠0,故f(0)=1.再令y=0,即f(x·0)=f(x)·f(0),得f(x)=1.故无论x取何值,f(x)恒等于1.从而有f(2013)=1.
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