Question

设函数F（X）在（－∞，＋∞）上有定义，且对任何X,Y有F（X×Y）＝F（X）×F（Y）-X－Y,求F（X）.

Answer 1

解答：因为函数F（X）在（－∞，＋∞）上有定义，且对任何X,Y有F（X*Y）＝F（X）*F（Y）-X－Y
假设x=0，y=0时，F（X×Y）＝F（X）×F（Y）-X－Y
有：
F（0）＝F（0）×F（0）-0－0
所以：F（0）=0或F(0)=1
（1）
令x=1，y=1，则有：F（1）＝F（1）×F（1）-1－1
F²（1）-F(1)-2=0
F(1)=2或者F（1）=-1
（2）
令x=0，y=1时，则有：F（0）＝F（0）×F（1）-0－1
（3）
所以（1）式中的F(0)=0不成立，所以F（0）=1，代入（3）式中得：F（1）=2
所以当y=1时，X取任意值，有：F（X×1）＝F（X）×F（1）-X－1
F（X）＝2*F（X）-X－1
F（X)=X+1
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Answer 2

解答：因为函数F（X）在（－∞，＋∞）上有定义，且对任何X,Y有F（X*Y）＝F（X）*F（Y）-X－Y
假设x=0，y=0时，F（X×Y）＝F（X）×F（Y）-X－Y
有：
F（0）＝F（0）×F（0）-0－0
所以：F（0）=0或F(0)=1
（1）
令x=1，y=1，则有：F（1）＝F（1）×F（1）-1－1
F²（1）-F(1)-2=0
F(1)=2或者F（1）=-1
（2）
令x=0，y=1时，则有：F（0）＝F（0）×F（1）-0－1
（3）
所以（1）式中的F(0)=0不成立，所以F（0）=1，代入（3）式中得：F（1）=2
所以当y=1时，X取任意值，有：F（X×1）＝F（X）×F（1）-X－1
F（X）＝2*F（X）-X－1
F（X)=X+1
祝你学业有成。我Q809103033.不会的Q我

Answer 3

f(x·y)=f(x)·f(y),令x,y都等于0，即f(0)=f²(0),因为f(x)≠0,故f(0)=1.再令y=0,即f(x·0)=f(x)·f(0),得f(x)=1.故无论x取何值，f(x)恒等于1.从而有f(2013)=1.
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