Question

△ABC为等边三角形，D为直线AC上一点，延长BC至E，使CE=AD，连接BD，DE。

1当点D在AC上，但不是AC中点时，△BDE还是等腰三角形么？如果是，请予以证明。不是，请说明理由？
2当点D在AC延长线上，△BDE还是等腰三角形么？为什么？

Answer 1

不论D在AC上还是在AC延长线上，△BDE总是等腰三角形。
1、D在AC上。过D作DF∥AB交BC于F，∵△ABC是等边三角形，∴△DFC也是等边三角形，得AD=FB=CE，∠DFB=∠DCE=120°，DF=DC，
∴△DFB≌△DCE，BD=DE。
2、D在AC延长线上。过D作DF∥BA交BC的延长线于F，∵△ABC是等边三角形，∴△DFC也是等边三角形，由AD=CE得AC=FE=CB，∠DFE=∠DCB=120°，DF=DC，∴△DFE≌△DCB，BD=DE。

Answer 2

1、当点D在AC上，但不是AC中点时，△BDE还是等腰三角形。
证明：过D点作DK//AB，交BE于K
易证 CDK是等边三角形
则 BK=BC-KC=AC-DC=AD=CE
又 ∠DKB=180°-60°=∠DCE, DK=DC
所以 △DKB≡△DCE
所以 ∠DBK=∠DEC
所以 △BDE是等腰三角形
2、当点D在AC延长线上，△BDE还是等腰三角形。
证明：过D点作DK//AB，交BE于K
易证 CDK是等边三角形
则 BK=BC+KC=AC+DC=AD=CE
又 ∠DKB=60°=∠DCE, DK=DC
所以 △DKB≡△DCE
所以 ∠DBK=∠DEC
所以 △BDE是等腰三角形

Answer 3

1 假设BDE 为等腰三角形，设AB=AC=BC=b，AD=CE=x，DC=y，DB=M。即：
cos60=（x²+b²-M²）/2bx=1/2
cos120=（x²+Y²-M²）/2xy=-1/2
将第二个式子中的M²求出 ：M²=x²+xy+y² 带入第一个式子中 即可得到（y+b)（y-b+x)=0
y+b >0 y-b+x=0 等式成立
综上所述 D无论是否是AC中点，均可得到△BDE是等腰三角形
2 同理

Answer 4

如图将三角形ACM,三角形DEM旋转到三角形ABM',三角形DBM',
因为∠BAC=180-2∠ABC，∠BDE=2a，所以∠BAC+∠BDE=180,所以∠ABD+∠E+∠ACE=360,所以旋转后能重合于M'
因为旋转，所以AM'=AM,DM'=DM,
因为AD=AD,所以三角形AM'D全等于三角形AMD,所以∠AM'D=∠AMD.
因为∠AM'D等于∠AMC+∠DME=180-∠AMD,所以∠AMD=180-∠AMD,所以∠AMD=90,所以垂直

追问

图片在哪里？？
你说的好像不是这道题目？？我没看懂...谢谢