Question

高等数学中为什么对∫e^(t^2)dt在t为0到2x上积分后求导结果是2e^4（x^2）

Answer 1

∫e^(t^2)dt在t为0到2x上积分后求导结果是2e^4（x^2）

∫e^(t^2)dt在t为0到2x上积分后， 设f(t)=∫e^(t^2)dt ,则 ∫e^(t^2)dt在t为0到2x上积分等于f(t)(t=2x)减去f(t)(t=0)
所以题述就变为对【f(t)(t=2x)减去f(t)(t=0) 】进行求导，即等于对f(t)(t=2x)求导 减去 对f(t)(t=0) 求导，后半部分f(t)(t=0)固然是一个常数其求导结果必为零，前部分f(t)(t=2x)求导由题设可知f(t)函数是e^(t^2)的原函数，所以其求导必为t=2x时的e^(t^2)的值对x的导数，即为结果.这其中的原函数的转换以及， 最后一步对x求最终的导函数的过程都是复合函数求导的演变，自己认真体会。

Answer 2

对于先求积分,再求导,公式: 如对t积分后再求导,被积函数为f(t),积分区域从g(x)到k(x),那么结果就为 f[k(x)]k'(x)-f[g(x)]g'(x) (说明:用k(x)整体代替t,用g(x)整体代替t,g'(x)表示对g(x)求导,k'(x)类似道理)

Answer 3

变上限积分的求导，此题把上限t=2x直接代入被积函数，再乘以上限的导数(2x)'=2，就是结果了

Answer 4

根据积分上限函数的导数定理。