Question

边长为L的正方形闭合金属线框,其质量为m,回路电阻为R。图中MNP为磁场区域的边界

边长为L的正方形闭合金属线框,其质量为m,回路电阻为R。图中MNP为磁场区域的边界，上下两部分水平匀强磁场的磁感应强度大小均为B。反向如图。现让金属线框在图示位置由静止开始下落，金属线框在穿过M和P两界面的过程中均为匀速运动。已知M.N.直接和N.P之间的高度差相等，均为h=L+(5m^2gR^2)/(8B^4L^4),j金属线框下落过程中金属线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，当地的重力加速度为g，试求：金属线框的底边刚通过磁场边界N时，金属线框加速度的大小。
如图所示。

Answer 1

设线框的下底边刚进入边界M时，速度是 V0
因线框是匀速运动，所以安培力与重力平衡，即　F安＝mg
B*I*L＝mg
B*[ (BL*V0) / R ]*L＝mg
V0＝mgR / (BL)^2　..............................................方程1

整个线框进入上方磁场后，回路无电流，只受重力，在继续运动到底边刚到N边界的过程中，
设底边刚到N边界时的速度是V
则　V^2－V0^2＝2g（h－L）
即　V^2－V0^2＝2g*(5m^2gR^2)/(8B^4L^4)　.........方程2
将方程1代入方程2　得　V^2－[ mgR / (BL)^2 ]^2＝2g*(5m^2gR^2)/(8B^4L^4)
V＝3 mgR / [2*(BL)^2 ]

线框底边刚进入下方磁场时，上、下两条边切割磁感线产生的电动势大小都是 E1＝BLV
在回路中它们的电动势方向相同，所以回路总电动势为　E＝2*E1＝2*BLV
即　E＝3 mgR / (BL)
这时回路中的电流是　I总＝E / R＝3 mg / (BL)
上、下两条边受到的磁场力方向都是竖直向上的（用左手定则判断知）。
设所求的加速度是 a
则　mg－F安总＝ma　（以向下为正）
mg－2*B*I总*L＝ma
mg－2*B*[ 3 mg / (BL) ]*L＝ma
a＝－5 g　　（负号表示这时的加速度方向是竖直向上的）。