Question

请问这个用极限存在准则证明的详细过程，谢谢

Answer 1

1<√(1+1/n)<√(1+2/n+1/n²)=1+1/n

1的极限是1，1+1/n极限也是1，夹逼定理

由基本不等式

X(n+1)=(1/2)*(X(n)+1/X(n))>=1

所以X(n)有下界

由上面得到的X(n)>=1,有X(n)>=1/X(n)

X(n+1)=(1/2)*(X(n)+1/X(n))<=(1/2)*(X(n)+X(n))=X(n)

所以X(n)单调递减

由柯西准则：单调有界必有极限，所以X(n)的极限存在

扩展资料：

（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。

（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

如图

追问

谢谢老师

Answer 3

用夹逼定理

Answer 4

首先有lim(x->0+) 1+x =lim(x->0-) 1+x =lim(x->0) 1+x =1； x>0时，1<(1+x)^(1/n)0+) 1 ≤lim(x->0+) (1+x)^(1/n) ≤lim(x->0+) 1+x=1，从而lim(x->0+) (1+x)^(1/n) =1； -10-) 1+x ≤lim(x->0-) (1+x)^(1/n) ≤lim(x->0-) 1=1，从而lim(x->0-) (1+x)^(1/n) =1；故lim(x->0+) (1+x)^(1/n) =lim(x->0-) (1+x)^(1/n) =1；从而lim(x->0) (1+x)^(1/n) =1.