Question

设函数f（x）在［0，3］上连续，在（0，3）内可导，且f（3）=0，证明：在（0，3）内至少存在

一点ξ，使得f'（ξ）=－f（ξ）／ξ

Answer 1

因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤M。

由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得： f(c)＝f(0)+f(1)+f(2) 3 ＝1，又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0。

简介

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

Answer 2

因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得： f(c)＝f(0)+f(1)+f(2) 3 ＝1，又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0．