Question

数列{an}的前n项和记为Sn，a₁=2，a（n+1）=Sn+n. （1）求数列{an}的通项公式

（2）求等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=9，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列。①求数列{bn}的通项公式；②求证：当n≥2时，1/b²₂+1/b²₂+。。。+1/b²n<3/2。

Answer 1

1、数学归纳法证明an＝2^n-1，当n>=2时。
2、设bn的首项为b，公差为d>0，则由题意得3b+3d=9，（3+b+d）^2=(2+b)(7+b+2d)，打开括号并将3b＝9－3d代入得d^2+5d-14=0，于是d＝2（d＝－7舍掉）。于是bn＝2n-1。
3、1/1^2+1/3^2+1/5^2+...+1/(2n-1)^2<1+1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[(2n-3)*(2n-1)]=1+1/2{1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/+...+1/(2n-3)-1/(2n-1)}=1+1/2[1-1/(2n-1)]<1+1/2=3/2

追问

那个数学归纳法我还没学，能换一种方法吗？

追答

不太可能吧？学数列之前应该先学归纳法，数列中的太多太多的题都得用数学归纳法证明。这样证明：a(n+1)=sn+n an=s(n-1)+(n-1)，两者相减得a(n+1)-an=sn-s(n-1)+1=an+1，于是得a(n+1)+1=2(an+1)，故an+1是以a2+1＝4为首项，以2为公比的等比数列（注意我上面说的都是从n＝2作为首项开始计算的）。

追问

哦，谢谢，我懂了。