Question

高等数学 一道积分题？

第（5）题应该怎么解

Answer 1

分享一种解法。由积分中值定理，∴原式=(n+1-n)(x^ξ-1)/(x^ξ+1)=(x^ξ-1)/(x^ξ+1)，其中n<ξ<n+1。显然，n→∞时，ξ→∞。
∴当丨x丨<1时，lim(ξ→∞)x^ξ→0，∴原式=-1。x=1时，原式=0。x=-1时，极限不存在。丨x丨>1时，原式=1。
供参考。

Answer 2

分享一种解法。将“y∈[0,1]”拆成“[0,x]∪[x,1]”去“丨丨”求解。∵y≤x时，丨x-y丨=x-y；y>x时，丨x-y丨=y-x，
∴f(x)=∫(0,x)(x-y)sin√ydy+∫(x,1)(y-x)sin√ydy=x∫(0,x)sin√ydy-∫(0,x)ysin√ydy+ ∫(x,1)ysin√ydy-∫(x,1)xsin√ydy。
两边对x求导、经整理，有f'(x)=∫(0,x)sin√ydy-∫(x,1)sin√ydy。∴f''(x)=2sin(√x)。
供参考。

Answer 3

由积分中值定理可知，存在δ∈(n,n+1)使得原式
=lim(δ^n-1)/(δ^n+1)
因为n →+∞，所以δ→+∞
所以，lim(δ^n-1)/(δ^n+1)=1
所以原式=1

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