Question

经过点M(2,1)作直线l交双曲线x^2-y^2/2=1于A,B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程

Answer 1

设A，B两点的坐标分别为：(x1,y1),(x2,y2)
由于已经知道中点为M，所以为x1+x2=4, y1+y2=2 (1)
这两点在双曲线上，所以有：x1^2-y1^2/2=1, x_2^2-y_2^2/2=1
上面两式相减可得(x1+x2)*(x1-x2)-(y1+y2)*(y1-y2)/2=0
代入（1）式，可得：4（x1-x2）=y1-y2
也就是说直线的斜率为4
再根据直线过点M
可得直线的方向：y-1=4(x-2) 即y=4x-7

Answer 2

点差法：
设A（x1，y1） B（x2，y2）
分别代入双曲线方程后二式相减得：2（x1+x2）（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2）
∴k=（y1-y2）/（x1-x2）=2（x1+x2）/（y1+y2）
∵M为AB的中点 ∴x1+x2=2xM=4，y1+y2=2yM=2 ∴k=4 ∴设l方程为y=4x+b
将M代入其方程得b=-7 ∴直线l的方程为y=4x-7