Question

高等数学无穷级数问题

这个是怎么得来的呢

Answer 1

详细过程是，∵[x^(n+1)]'=(n+1)x^n，∴[∑x^(n+1)/(n+1)]'=∑x^n。
又，∑x^n是首项为1、公比为x的等比级数，由其求和公式，∴∑x^n=[1-x^(n+1)]/(1-x)。
而，丨q丨=丨x丨<1，lim(n→∞)x^(n+1)=0,。∴当n=0,1,2，…，∞时，∑x^n=1/(1-x)。
供参考。

Answer 2

8. 由积分域D的对称性，得 ∫∫<D>(x^3+3x^2+5x^7cosy+4y^2)dxdy
= ∫∫<D>(3x^2+4y^2)dxdy
= ∫<0,2π>dt∫<0,a>[3(rcost)^2+4(rsint)^2]rdr
= ∫<0,2π>dt∫<0,a>[3r^3+r^3(sint)^2]dr
= (a^4/4)∫<0,2π>[3+(sint)^2]dt
= (a^4/4)∫<0,2π>[7/2+(1/2)cos2t]dt
= (a^4/4)[7t/2+(1/4)sin2t]<0,2π> = 7πa^4/4.
9. 令 x=a+rcost, y=b+rsint, 则
∫∫<D>(x+y)dxdy =∫<0,2π>dt∫<0,R>(a+b+rcost+rsint)rdr
=∫<0,2π>dt[(a+b)r^2/2+(cost+sint)r^3/3]<0,R>
=∫<0,2π>[(a+b)R^2/2+(cost+sint)R^3/3]dt
= [t(a+b)R^2/2+(sint-cost)R^3/3]<0,2π> = π(a+b)R^2

Answer 3

∑<n=0,∞> x^n = 1+x+x^2+x^3+ .......
是首项为 1， 公比为 x 的等比级数，根据中学等比数列求和公式，
当 |x| < 1 时， 所有项之和为
∑<n=0,∞> x^n = 1+x+x^2+x^3+ ....... = 1/(1-x)

Answer 4

可以展开成1+x+x²……x^n，这里的n趋于无穷大，它是几何级数，它的的通项公式为limsn=1/1-q

Answer 5

解：
令：F（x,y,z）=z³-2xz+y=0
F'x=-2z
F'y=1
F'z=3z²-2x
根据隐函数求偏导公式：
∂z/∂x
= - F'x/F'z
= 2z/(3z²-2x)
∂z/∂y
= - F'y/F'z
= -1/(3z²-2x)
= - (3z²-2x)^(-1)
∂²z/∂x²
={2（∂z/∂x）(3z²-2x)-2z·[6z(∂z/∂x)-2]}/(3z²-2x)²
=[4z-12z²(2z/(3z²-2x))+4z]/(3z²-2x)²
∂²z/∂y²
=6z·[-1/(3z²-2x)]/(3z²-2x)²
=-6z/(3z²-2x)³