Question

如图,AE,BD是△ABM的高,AE,BD交于点C,且AE=BE,BD平分∠ABM。求证：ED平分∠BDM

Answer 1

证明：
第一种方法：
∵AE＝BE，AE⊥BM
∴∠ABM＝45
∵BD平分∠ABM
∴∠ABD＝∠MBD
∵BD⊥AM，BD＝BD
∴△ABD全等于△MBD
∴AD＝MD，AB＝MB
∴∠M＝∠MAB
∵AE⊥BM，AD＝MD
∴DE＝MD
∴∠M＝∠MED
∴△MDE相似于△MBA
∴∠MDE＝∠ABM＝45
∴∠BDE＝∠BDM-∠MDE＝90-45＝45
∴∠MDE＝∠BDE
∴ED平分∠BDM

第二种方法：
∵AE＝BE，AE⊥BM
∴∠ABE＝∠BAE
∵BD⊥AM
∴A、B、E、D四点共圆
∵∠MDE是四边形ABED中∠ABE的外角
∴∠MDE＝∠ABE
∵∠BDE、∠BAE所对应圆弧都为劣弧BE
∴∠BDE＝∠BAE
∴∠BDE＝∠ABE
∴∠BDE＝∠MDE
∴ED平分∠BDM

Answer 2

∵AE＝BE，AE⊥BM
∴∠ABM＝45
∵BD平分∠ABM
∴∠ABD＝∠MBD
∵BD⊥AM，BD＝BD
∴△ABD全等于△MBD
∴AD＝MD，AB＝MB
∴∠M＝∠MAB
∵AE⊥BM，AD＝MD
∴DE＝MD
∴∠M＝∠MED
∴△MDE相似于△MBA
∴∠MDE＝∠ABM＝45
∴∠BDE＝∠BDM-∠MDE＝90-45＝45
∴∠MDE＝∠BDE
∴ED平分∠BDM