Question

高中数学，求解21问

Answer 1

不要看下面的文字，看追答里的图片。
(1)对f(x)求导得到a(1/e^x -1)+(e^x-1)⇒(e^x-1)((e^x-a)/e^x )…
(2)即[f(x)]^2/(e^(a-1)-a)<λ，因为a-1>lna，所以e^(a-1)>a。令h(x)=[f(x)]^2/(e^(a-1)-a)，则h^' (x)=(2f^' (x)(e^(a-1)-a))/(e^(a-1)-a)^2 ，令g(x)=2f^' (x)(e^(a-1)-a)=2(e^x-1)((e^x-a)/e^x )(e^(a-1)-a)，已知e^(a-1)-a>0只需讨论f^' (x)的正负即可。
由(1)可得f(x)的两个极值点为lna和0。由于0<a<1，所以lna<0。易得h(x)在(-∞,lna)和(0,+∞)单调递减，在(lna,0)单调递增。又由于x∈(a-1,+∞)，而lna<a-1<0。所以只需λ>h(x)_max=h(0)=(1-a)^2/(e^(a-1)-a)。令F(a)=(1-a)^2/(e^(a-1)-a)。F^' (a)=(e^(a-1) (4a-3-a^2 )+1-a^2)/(e^(a-1)-a)^2 ，令H(a)=e^(a-1) (4a-3-a^2 )+1-a^2，则H^' (a)=e^(a-1) (2a+1-a^2 )-2a，H^'' (a)=e^(a-1) (3-a^2 )，所以H^' (a)在(0,1)上单调递减，且在(0,1)上H^' (a)>0，所以H(a)单调递增，但在(0,1)上H(a)<0，所以F(a)在(0,1)上是单调递减的，那么λ>F(a)_max=F(0)=e。
综上，λ>e。
有疑问还可追问。望采纳，谢谢(#^.^#)

追答

对不起，有一点弄错了（今天发烧了，脑子有些糊涂），我整理一下

划红线的是修改处

追问

好的谢谢

Answer 2

求一二阶导数，分析单调性。

追答