Question

如图，在△ABC中，∠A的内角平分线和外角平分线AD、AE分别交于BC及BC延长线于D、E，求证：1/BD+1/BE=2/BC

示意图：

Answer 1

（1）角平分线的性质：
AC/AB=CD/DD
【证明】过C作CM//AB交AD于M
∵ CM//AB
∴ ∠M=∠BAD，且 CM/AB=CD/DB………………①
∵ ∠BAD=∠CAD
∴ ∠M=∠CAD
∴ △CAM是等腰三角形
∴ CM=AC
由①，有AC/AB=CD/DB………………………………②

（2）过C作CN//AE交AB于N
∵ CN//AE
∴ ∠ACN=∠CAE，∠ANC=∠FAE （F是BA延长线上一点）
且 BC/BE=BN/BA………………………………………③
∵ ∠CAE=∠FAE
∴ ∠ACN=∠ANC
∴ △CAN是等腰三角形
∴ AC=AN

由②，有AN/AB=CD/DB
∴ BC/BD+BC/BE=(BD+CD)/BD+BC/BE
=1+CD/BD+BC/BE
=1+AN/AB+BN/BA
=2
∴ 1/BD+1/BE=2/BC