求教积分问题 20

g(x,y)只取两常数值f(x,y)<t时g(x,y)=af(x,y)≥t时g(x,y)=b试证使积分∫∫[f(x,y)-g(x,y)]²dxdy为最小的t值始... g(x,y)只取两常数值
f(x,y)<t时 g(x,y)=a f(x,y)≥t时g(x,y)=b
试证使积分∫∫[f(x,y)-g(x,y)]²dxdy为最小的t值始终是t=(a+b)/2
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hussein_bond
2012-01-16 · TA获得超过3431个赞
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I(t)=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]²dxdy=∫∫_1[f(x,y)-a]²dxdy+∫∫_2[f(x,y)-b]²dxdy
其中积分区域1和2的边界为f(x,y)=t。

I(t+dt)=∫∫_1[f(x,y)-a]²dxdy+∫∫_2[f(x,y)-b]²dxdy-∫∫_3{[f(x,y)-a]²-[f(x,y)-b]²}dxdy
其中区域3为f(x,y)=t和f(x,y)=t+dt两条曲线之间的区域。化简上式得
I(t+dt)=I(t)-∫∫_3[a²-b²-2f(x,y)(a-b)]dxdy
区域3的面积为dS=∫∫_3dxdy,取dt=0的极限,则区域3内f(x,y)=t,得到
dI(t)/dt=-[a²-b²-2(a-b)t]dS/dt
积分∫∫[f(x,y)-g(x,y)]²dxdy为极小值时,dI(t)/dt=0,于是
a²-b²-2(a-b)t=0
若a不等于b,解得
t=(a+b)/2
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