Question

已知函数f(x)=1/2lnx+1/x。(1)求函数的单调区间和极值;(2)求证对于任何正整数n>2

已知函数f(x)=1/2lnx+1/x。（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证对于任何正整数n>2有2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln(1×2×3×……×n)＞ln(2e)^n；（3）若对于任意x∈[4,+∞]及t∈[-1,1]，是否存在实数m，使不等式f(x)≥t^2-2mt+5/4+ln2恒成立，若存在，试求实数m的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=1/2lnx+1/x
f＇(x)=1/(2x)-1/x²=(x-2)/(2x²)
令 f＇(x)=0
得驻点x=2
f(x)的单调递增区间为x∈[2,+∝﹚
f(x)的单调递减区间为x∈﹙0,2]
f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2

(2)由（1）已证，当n＞2时，f(n)单调递增
∵1/2lnx+1/x＞f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2
∴lnx+2/x＞ ln2+1
∴ 2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln1+ln2+ln3+……+lnn
=(2/1+ln1)+(2/2+ln2)+(2/3+ln3)+....(2/n+lnn) ＞n(ln2+1)=n (lne+ln2)=ln(2e)^n
∴2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln(1×2×3×……×n)＞ln(2e)^n得证

(3)f(x)=1/2lnx+1/x≥t^2-2mt+5/4+ln2
∵对于任意x∈[4,+∞]及t∈[-1,1]，存在实数m，使该等式恒成立
∴f(x)min=f(4)=1/2 ln4+1/4=ln2+1/4≥(t^2-2mt+5/4+ln2)min
∴(t^2-2mt+1)min≤0
令h(t)=t^2-2mt+1
对称轴x=m,开口向上
①m≥1
t∈[-1,1]，h(t)min=h（1）=2-2m≤0 解得m≥1
∴m≥1
②-1＜m＜1
t∈[-1,1]，h(t)min=h（m）= -m²+1≤0 解得m≥1 或m≤-1 ，与条件矛盾，舍去
③m≤-1
t∈[-1,1]，h(t)min=h（-1）=2+2m≤0 解得m≤-1
综上，m∈﹙-∝，-1]∪[1，+∝﹚

Answer 2

（1）当x=2时，有f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2
(2)∵1/2lnx+1/x＞f(x)min=f(2)=1/2 ln2+1/2
∴lnx+2/x＞ ln2+1
∴ 2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln1+ln2+ln3+……+lnn
=(2/1+ln1)+(2/2+ln2)+(2/3+ln3)+....(2/n+lnn) ＞n(ln2+1)=n (lne+ln2)=ln(2e)^n
∴2（1+1/2+1/3+……+1/n）+ln(1×2×3×……×n)＞ln(2e)^n