Question

已知函数f(x)=-x^3+ax在区间（-1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是？（详解）

Answer 1

用导数改很简单
y=-x^3的导数方程为y=-3x^2
y=ax的导线方程为y=a
a>3x^2
在（-1，1）上
3x^2<3
所以a>=3

利用增函数的性质解，很复杂
设-1<x2<x1<1
如果f(x)是一个增函数，则
f(x1)-f(x2)>0
即
-x1^3+ax1-(-x2^3+ax2)>0
-x1^3+x2^3+(x1-x2)a>0
-(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2)+(x1-x2)a>0
因为x1-x2>0
所以
a>x1^2+x1x2+x2=(x1+x2)^2-x1x2
在区间（-1，1）上
(x1+x2)^2-x1x2<(1+1)^2-1=3
所以a>=3

Answer 2

解：
用导数方法解：
f'(x)=-3x²+a
函数在(-1，1)上是增函数，f'(x)>0
-3x²+a>0
x²<a/3
a/3≥1
a≥3

Answer 3

对函数求导
f'(x)=-3x²+a
在（-1，1）上是增函数
所以f'(x)>0
带入得a≥3