Question

如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB于D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH平行AB，交BC于H

如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB于D,AE平分∠CAB交CD于F,过F作FH平行AB，交BC于H .求证：CE=BH

Answer 1

你好，谢谢你对我团队的信任，现解答如下：

如图：过点E作EN⊥AB交AB于点N，

 ∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，

∴∠CAE=∠EAB，CE=EN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵CD⊥AB，

∴∠CAE+∠CEA=∠EAB+∠AFD=90° ，

∴∠CEA=∠DFA=∠CFE，

∴CE=CF=EN，

∵FH∥BD，

∴Rt△CHF≌Rt△ENB

∴CH=EB

∵CE=CH-EH，BH=EB-EH，

∴CE=BH。

Answer 2

过H作HG垂直AB并交AB于G，因为角ACB=90度，所以CE垂直AC于C,，因为AE平分角CAB，所以CE=EG,,角CAE=角BAE 角ACD+角BCD=90度，因为CD垂直AB于D，所以EG平行CD，所以角CHF=角B 角HCF=角BEG，所以三角形CHF和三角形EBG全等，所以CH=BE因为CH=CE+EH BE=BH+EH，两式相减得：CE=BH

Answer 3

解：由已知得出，Rt△CHF,Rt△ADF,Rt△ACD,Rt△CBD
sin∠ACD=AD/AC 由Rt△CHF与Rt△CBD相似得出，FD/BH=CF/CH=sinCHF=sin∠CBD
由Rt△ACE与Rt△ADF相似得出，FD/CE=AF/AE=AD/AC=sin∠ACD
∵∠CBD+∠BCD=90° ∠ACD++∠BCD=90° ∴∠CBD=∠ACD
∴CE=BH