Question

定义域为（0，正无穷）的函数f(x)满足对任意x∈（0，正无穷），恒有f(2x)=2f(x)成立，

当x∈（1，2]时 ，f(x)=2-x 给出如下结论 正确的是？
1.函数f(x)的值域为[0,正无穷）
2.存在n∈Z， 使得f(2的n次幂+1)=9
3.若k∈Z，（a，b）属于（2的k次幂，2的k+1次幂），则函数f(x)在区间（a，b）上单调递增

帮帮忙，谢谢

Answer 1

容易得出f(x)=2f(x/2)=2(2-x/2)=4-x，当x位于(2 4]时，类似推理或用数学归纳法可以证明f(x)=2^(n+1)-x，当x位于（2^n, 2^(n+1)】，其中n可取负整数，即n是整数时表达式都成立。因此
1、取x=2^n+1，f(x)=2^(n+1)-x=2^n-1，n趋于无穷时f(x)趋于无穷，因此f的值域是[0 无穷）
2、f(2^n+1)=2^n-1=9, 2^n=10，不可能。
3、f(x)=2^(k+1)-x，x位于(a b)时，故f是递减的。