Question

高2数学椭圆问题

Answer 1

e²=c²/a²=(a²-b²)/a²=(√6/3)²=6/9=2/3
∴2a²=3(a²-b²),
a²=3b²
1)由题意,
|0+0-b|/√(1²+1²)=|b|/√2=√2
∴|b|=2,
b=2,
b²=4,
a²=3b²=12
∴椭圆为
x²/12+y²/4=1
2)a²=3b²,
a=√3b,
c²=a²-b²=2b²,
c=√2b
∴右焦点(√2b,0),
直线斜率为tan45°=1且过(√2b,0).
则直线为y=x-√2b
代入椭圆
x²/3b²+y²/b²=1得
x²/3b²+(x-√2b)²/b²=1
∴x²+3(x-√2b)²=3b²,
整理得4x²-6√2bx+3b²=0
∴x1+x2=6√2b/4=3√2b/2,
x1x2=3b²/4
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(3√2b/2)²-4x1x2=9b²/2-3b²=3b²/2,
|x1-x2|=√6b/2
|AB|=√(1+1²)×|x1-x2|=√2×√6b/2=√3b=√3,
∴b=1

Answer 2

离心率=c/a=√6/3
所以b=√3/3a
（1）若原点到直线x+y-b=0的距离为√2，则根据点到直线的距离公式得b=1
所以a=√3
椭圆方程为x²/3+y²=1
（2）因为是斜率角为45°的直线所以设直线方程为y=x+k
因为直线过椭圆的右焦点所以k=-c
因为椭圆焦点弦公式：弦长的绝对值=2ab²/a²-c²cos²θ（因为斜率角为45°所以cos²θ=1/2）
化简得√3=2ab²/a²-c²/2，
离心率=c/a=√6/3
所以b=√3/3a
所以a=√3-6/12，b=1-2√3/12