Question

求f(x)=(x^2+5x-6)/(x^2+3x+2)的值域

求函数值域时，对于f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)这种类型的函数，一般是用判别式法，x属于R时，可以直接求解。然而对于分母的函数式会等于0的情况又是怎么讨论呢？例如求f(x)=(x^2+5x-6)/(x^2+3x+2)的值域。

Answer 1

f(4)=1
f(x)=(x^2+5x-6)/(x^2+3x+2)
=(x^2+3x+2+2x-8)/(x^2+3x+2)
=1+(2x-8)/(x^2+3x+2)
=1+2(x-4)/[(x-4)^2+11(x-4)+30]
=1+2/[(x-4)+30/(x-4)+11]
(x-4)+30/(x-4)的值域是(-无穷,-2√30)U(2√30,+无穷)。
(x-4)+30/(x-4)+11的值域是(-无穷,11-2√30)U(11+2√30,+无穷)。
1/[(x-4)+30/(x-4)+11]的值域是(-无穷,0)U(0,1/(11+2√30))U(1/(11-2√30),+无穷)。
2/[(x-4)+30/(x-4)+11]的值域是(-无穷,0)U(0,2/(11+2√30))U(2/(11-2√30),+无穷)。
1+2/[(x-4)+30/(x-4)+11]的值域是(-无穷,1+2/(11+2√30))U(1+2/(11-2√30),+无穷)。

Answer 2

当然是分母不能为0，即x不能等于-1和-2.因为所求的是值域，你另x=-1和-2时，求出f（x），f（x）的值域就是全体实数R且不等于你刚另x=-1和-2时的那两个值