Question

为什么可以用判别式法（△法）：求函数y=(x^2-5x+6)/(x^2+x-6)的值域

Answer 1

从函数式很难直接求出值域，那么把y作为一个系数，把函数式化为普通的一元二次方程，利用这个一元二次方程必有实数解，可用△法求出y的取值范围
方程式化为y(x^2+x-6)=x^2-5x+6
(y-1)x^2+(y+5)x-6y-6=0
△=(y+5)^2-4*(y-1)(-6y-6)=25y²+10y+1=(5y+1)²≥0，恒成立。
所以此时只要y-1≠0，即x^2项存在时，x必有实数解。
当y-1=0，即y=1时，原函数为x^2-5x+6=x^2+x-6，解得x=2
原函数定义域为x^2+x-6≠0，即x≠2，-3，所以y≠1
综上所述，该函数值域为y≠1

Answer 2

因为分子分母可以约分，所以不用判别式法就可以求值域
y=(x²-5x+6)/(x²+x-6) = (x-2)(x-3) / (x-2)(x+3) = (x-3) / (x+3) = 1 - 6/(x+3)
定义域x≠2 , x≠-3
x≠2 代入 得 y≠-1/5
6/(x+3)≠0 得 y≠1
y的值域是 (-∞,-1/5) ∪ (-1/5,1) ∪ (1,+∞)
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用判别式法：
y*(x²+x-6) = x²-5x+6
(y-1)x² + (y+5)x - 6(y+1) = 0
当y≠1时，△=(y+5)² + 4*6*(y-1)(y+1)=25y²+10y+1=(5y+1)² >= 0
△=0时，y=-1/5 ,代入解得x=2 ，但是x=2时分母为0，需舍去
所以值域为y∈R且y≠1,y≠-1/5
当y=1时，代入得 6x-12=0, x=2,但是x=2时分母为0，需舍去
综上值域为y∈R且y≠1,y≠-1/5

Answer 3

解：
y=(x²-5x+6)/(x²+x-6)
yx²+yx-6y=x²-5x+6
(y-1)x²+(y+5)x-6y-6=0
因为x存在
①y-1≠0,即y≠1时，△=(y+5)²-4(y-1)(-6y-6)
=25y²+10y+1
=(5y+1)²≥0
所以△≥0恒成立
故y≠1
②y-1=0，即y=1时 6x-12=0，解得x=2，故y=1存在

综上：值域y∈R

Answer 4

y=((x-2)(x-3))/((x-3)(x+2))=(x-2)/(x+2)=1-4/(x+2) (x不等于-2及x不等于-3）
由于4/(x+2)是单调增加函数 可以取除0以外所有的数且由于x≠-3 则4/（x+2)不等于4
于是值域范围为y∈（-∞，-3）U(-3,4)U(4,+∞)